Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20624 / 12496
↖ ↑ ↗
← N 81.004326°
W123.354492°		 ← 47.76 m → N 81.004326°
W123.351746°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
N 81.003896°
W123.354492°		 ← 47.76 m →
2 282 m²		 N 81.003896°
W123.351746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157352447509766 y=0.0953407287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157352447509766 × 217)
    floor (0.157352447509766 × 131072)
    floor (20624.5)     		tx = 20624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0953407287597656 × 217)
    floor (0.0953407287597656 × 131072)
    floor (12496.5)     		ty = 12496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20624 / 12496 ti = "17/20624/12496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20624/12496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20624 ÷ 217
    20624 ÷ 131072     		x = 0.1573486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12496 ÷ 217
    12496 ÷ 131072     		y = 0.0953369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1573486328125 × 2 - 1) × π
    -0.685302734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15294204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0953369140625 × 2 - 1) × π
    0.809326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54257315584778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15294204} λ = -2.15294204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54257315584778))-π/2
    2×atan(12.7123397532493)-π/2
    2×1.49229425846156-π/2
    2.98458851692311-1.57079632675     		φ = 1.41379219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15294204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.354492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41379219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.004326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20624 KachelY 12496 -2.15294204 1.41379219 -123.354492 81.004326
    Oben rechts KachelX + 1 20625 KachelY 12496 -2.15289410 1.41379219 -123.351746 81.004326
    Unten links KachelX 20624 KachelY + 1 12497 -2.15294204 1.41378469 -123.354492 81.003896
    Unten rechts KachelX + 1 20625 KachelY + 1 12497 -2.15289410 1.41378469 -123.351746 81.003896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41379219-1.41378469) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dl = 47.7824999996057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41379219-1.41378469) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dr = 47.7824999996057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15294204--2.15289410) × cos(1.41379219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156359898189517 × 6371000     		do = 47.7563376108266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15294204--2.15289410) × cos(1.41378469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156367305936229 × 6371000     		du = 47.7586001273478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41379219)-sin(1.41378469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156359898189517-0.156367305936229)×R²
    abs(-2.15289410--2.15294204)×7.40774671179056e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.40774671179056e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.40774671179056e-06×40589641000000     		ar = 2281.97125628686m²