Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20623 / 3672
↖ ↑ ↗
← N 80.012423°
E 46.571045°		 ← 211.87 m → N 80.012423°
E 46.582031°		 →
↑
211.90 m
↓
↑
211.90 m
↓
N 80.010518°
E 46.571045°		 ← 211.91 m →
44 900 m²		 N 80.010518°
E 46.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629379272460938 y=0.112075805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629379272460938 × 215)
    floor (0.629379272460938 × 32768)
    floor (20623.5)     		tx = 20623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112075805664062 × 215)
    floor (0.112075805664062 × 32768)
    floor (3672.5)     		ty = 3672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20623 / 3672 ti = "15/20623/3672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20623/3672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20623 ÷ 215
    20623 ÷ 32768     		x = 0.629364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3672 ÷ 215
    3672 ÷ 32768     		y = 0.112060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629364013671875 × 2 - 1) × π
    0.25872802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81281807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112060546875 × 2 - 1) × π
    0.77587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43749547188062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81281807} λ = 0.81281807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43749547188062))-π/2
    2×atan(11.4443421428663)-π/2
    2×1.48363827707678-π/2
    2.96727655415357-1.57079632675     		φ = 1.39648023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81281807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.571045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39648023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.012423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20623 KachelY 3672 0.81281807 1.39648023 46.571045 80.012423
    Oben rechts KachelX + 1 20624 KachelY 3672 0.81300982 1.39648023 46.582031 80.012423
    Unten links KachelX 20623 KachelY + 1 3673 0.81281807 1.39644697 46.571045 80.010518
    Unten rechts KachelX + 1 20624 KachelY + 1 3673 0.81300982 1.39644697 46.582031 80.010518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39648023-1.39644697) × R
    3.3260000000146e-05 × 6371000     		dl = 211.89946000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39648023-1.39644697) × R
    3.3260000000146e-05 × 6371000     		dr = 211.89946000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81281807-0.81300982) × cos(1.39648023) × R
    0.000191750000000046 × 0.173434639292747 × 6371000     		do = 211.874562669663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81281807-0.81300982) × cos(1.39644697) × R
    0.000191750000000046 × 0.173467395154208 × 6371000     		du = 211.914578515691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39648023)-sin(1.39644697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173434639292747-0.173467395154208)×R²
    abs(0.81300982-0.81281807)×3.27558614609813e-05×R²
    0.000191750000000046×3.27558614609813e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.27558614609813e-05×40589641000000     		ar = 44900.3450904564m²