Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20622 / 4747
↖ ↑ ↗
← N 77.741951°
E 46.560058°		 ← 259.37 m → N 77.741951°
E 46.571045°		 →
↑
259.43 m
↓
↑
259.43 m
↓
N 77.739618°
E 46.560058°		 ← 259.42 m →
67 295 m²		 N 77.739618°
E 46.571045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629348754882812 y=0.144882202148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629348754882812 × 215)
    floor (0.629348754882812 × 32768)
    floor (20622.5)     		tx = 20622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144882202148438 × 215)
    floor (0.144882202148438 × 32768)
    floor (4747.5)     		ty = 4747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20622 / 4747 ti = "15/20622/4747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20622/4747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20622 ÷ 215
    20622 ÷ 32768     		x = 0.62933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4747 ÷ 215
    4747 ÷ 32768     		y = 0.144866943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62933349609375 × 2 - 1) × π
    0.2586669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81262632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144866943359375 × 2 - 1) × π
    0.71026611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23136680351437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81262632} λ = 0.81262632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23136680351437))-π/2
    2×atan(9.31258585986428)-π/2
    2×1.46382466608162-π/2
    2.92764933216323-1.57079632675     		φ = 1.35685301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81262632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.560058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35685301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.741951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20622 KachelY 4747 0.81262632 1.35685301 46.560058 77.741951
    Oben rechts KachelX + 1 20623 KachelY 4747 0.81281807 1.35685301 46.571045 77.741951
    Unten links KachelX 20622 KachelY + 1 4748 0.81262632 1.35681229 46.560058 77.739618
    Unten rechts KachelX + 1 20623 KachelY + 1 4748 0.81281807 1.35681229 46.571045 77.739618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35685301-1.35681229) × R
    4.07200000001051e-05 × 6371000     		dl = 259.42712000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35685301-1.35681229) × R
    4.07200000001051e-05 × 6371000     		dr = 259.42712000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81262632-0.81281807) × cos(1.35685301) × R
    0.000191749999999935 × 0.212314954835699 × 6371000     		do = 259.372282189179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81262632-0.81281807) × cos(1.35681229) × R
    0.000191749999999935 × 0.21235474629617 × 6371000     		du = 259.420892999105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35685301)-sin(1.35681229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212314954835699-0.21235474629617)×R²
    abs(0.81281807-0.81262632)×3.97914604707283e-05×R²
    0.000191749999999935×3.97914604707283e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.97914604707283e-05×40589641000000     		ar = 67294.5096664339m²