Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20622 / 3974
↖ ↑ ↗
← N 79.420275°
E 46.560058°		 ← 224.30 m → N 79.420275°
E 46.571045°		 →
↑
224.32 m
↓
↑
224.32 m
↓
N 79.418258°
E 46.560058°		 ← 224.34 m →
50 320 m²		 N 79.418258°
E 46.571045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629348754882812 y=0.121292114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629348754882812 × 215)
    floor (0.629348754882812 × 32768)
    floor (20622.5)     		tx = 20622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121292114257812 × 215)
    floor (0.121292114257812 × 32768)
    floor (3974.5)     		ty = 3974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20622 / 3974 ti = "15/20622/3974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20622/3974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20622 ÷ 215
    20622 ÷ 32768     		x = 0.62933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3974 ÷ 215
    3974 ÷ 32768     		y = 0.12127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62933349609375 × 2 - 1) × π
    0.2586669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81262632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12127685546875 × 2 - 1) × π
    0.7574462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37958769713959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81262632} λ = 0.81262632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37958769713959))-π/2
    2×atan(10.8004488898302)-π/2
    2×1.47847080769856-π/2
    2.95694161539712-1.57079632675     		φ = 1.38614529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81262632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.560058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38614529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.420275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20622 KachelY 3974 0.81262632 1.38614529 46.560058 79.420275
    Oben rechts KachelX + 1 20623 KachelY 3974 0.81281807 1.38614529 46.571045 79.420275
    Unten links KachelX 20622 KachelY + 1 3975 0.81262632 1.38611008 46.560058 79.418258
    Unten rechts KachelX + 1 20623 KachelY + 1 3975 0.81281807 1.38611008 46.571045 79.418258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38614529-1.38611008) × R
    3.52100000000632e-05 × 6371000     		dl = 224.322910000403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38614529-1.38611008) × R
    3.52100000000632e-05 × 6371000     		dr = 224.322910000403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81262632-0.81281807) × cos(1.38614529) × R
    0.000191749999999935 × 0.183603513750497 × 6371000     		do = 224.297258835446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81262632-0.81281807) × cos(1.38611008) × R
    0.000191749999999935 × 0.183638125080107 × 6371000     		du = 224.339541394192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38614529)-sin(1.38611008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183603513750497-0.183638125080107)×R²
    abs(0.81281807-0.81262632)×3.46113296096351e-05×R²
    0.000191749999999935×3.46113296096351e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.46113296096351e-05×40589641000000     		ar = 50319.756286028m²