Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20619 / 3676
↖ ↑ ↗
← N 80.004798°
E 46.527100°		 ← 212.03 m → N 80.004798°
E 46.538086°		 →
↑
212.03 m
↓
↑
212.03 m
↓
N 80.002892°
E 46.527100°		 ← 212.07 m →
44 961 m²		 N 80.002892°
E 46.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629257202148438 y=0.112197875976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629257202148438 × 215)
    floor (0.629257202148438 × 32768)
    floor (20619.5)     		tx = 20619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112197875976562 × 215)
    floor (0.112197875976562 × 32768)
    floor (3676.5)     		ty = 3676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20619 / 3676 ti = "15/20619/3676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20619/3676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20619 ÷ 215
    20619 ÷ 32768     		x = 0.629241943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3676 ÷ 215
    3676 ÷ 32768     		y = 0.1121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629241943359375 × 2 - 1) × π
    0.25848388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81205108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1121826171875 × 2 - 1) × π
    0.775634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43672848148669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81205108} λ = 0.81205108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43672848148669))-π/2
    2×atan(11.4355678077235)-π/2
    2×1.48357174059826-π/2
    2.96714348119652-1.57079632675     		φ = 1.39634715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81205108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.527100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39634715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.004798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20619 KachelY 3676 0.81205108 1.39634715 46.527100 80.004798
    Oben rechts KachelX + 1 20620 KachelY 3676 0.81224283 1.39634715 46.538086 80.004798
    Unten links KachelX 20619 KachelY + 1 3677 0.81205108 1.39631387 46.527100 80.002892
    Unten rechts KachelX + 1 20620 KachelY + 1 3677 0.81224283 1.39631387 46.538086 80.002892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39634715-1.39631387) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dl = 212.026880000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39634715-1.39631387) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dr = 212.026880000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81205108-0.81224283) × cos(1.39634715) × R
    0.000191749999999935 × 0.173565700979971 × 6371000     		do = 212.034672770824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81205108-0.81224283) × cos(1.39631387) × R
    0.000191749999999935 × 0.173598475769736 × 6371000     		du = 212.074711740411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39634715)-sin(1.39631387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173565700979971-0.173598475769736)×R²
    abs(0.81224283-0.81205108)×3.27747897652109e-05×R²
    0.000191749999999935×3.27747897652109e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.27747897652109e-05×40589641000000     		ar = 44961.2947922046m²