Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20618 / 3638
↖ ↑ ↗
← N 80.077000°
E 46.516113°		 ← 210.52 m → N 80.077000°
E 46.527100°		 →
↑
210.56 m
↓
↑
210.56 m
↓
N 80.075106°
E 46.516113°		 ← 210.56 m →
44 331 m²		 N 80.075106°
E 46.527100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629226684570312 y=0.111038208007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629226684570312 × 215)
    floor (0.629226684570312 × 32768)
    floor (20618.5)     		tx = 20618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111038208007812 × 215)
    floor (0.111038208007812 × 32768)
    floor (3638.5)     		ty = 3638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20618 / 3638 ti = "15/20618/3638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20618/3638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20618 ÷ 215
    20618 ÷ 32768     		x = 0.62921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3638 ÷ 215
    3638 ÷ 32768     		y = 0.11102294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62921142578125 × 2 - 1) × π
    0.2584228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81185933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11102294921875 × 2 - 1) × π
    0.7779541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44401489022894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81185933} λ = 0.81185933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44401489022894))-π/2
    2×atan(11.5191963347872)-π/2
    2×1.48420181239146-π/2
    2.96840362478293-1.57079632675     		φ = 1.39760730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81185933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.516113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39760730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.077000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20618 KachelY 3638 0.81185933 1.39760730 46.516113 80.077000
    Oben rechts KachelX + 1 20619 KachelY 3638 0.81205108 1.39760730 46.527100 80.077000
    Unten links KachelX 20618 KachelY + 1 3639 0.81185933 1.39757425 46.516113 80.075106
    Unten rechts KachelX + 1 20619 KachelY + 1 3639 0.81205108 1.39757425 46.527100 80.075106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39760730-1.39757425) × R
    3.305000000009e-05 × 6371000     		dl = 210.561550000573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39760730-1.39757425) × R
    3.305000000009e-05 × 6371000     		dr = 210.561550000573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81185933-0.81205108) × cos(1.39760730) × R
    0.000191750000000046 × 0.17232453968752 × 6371000     		do = 210.518421420508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81185933-0.81205108) × cos(1.39757425) × R
    0.000191750000000046 × 0.172357095172972 × 6371000     		du = 210.558192479339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39760730)-sin(1.39757425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17232453968752-0.172357095172972)×R²
    abs(0.81205108-0.81185933)×3.25554854519461e-05×R²
    0.000191750000000046×3.25554854519461e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.25554854519461e-05×40589641000000     		ar = 44331.2722495118m²