Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20617 / 4794
↖ ↑ ↗
← N 77.631836°
E 46.505127°		 ← 261.67 m → N 77.631836°
E 46.516113°		 →
↑
261.66 m
↓
↑
261.66 m
↓
N 77.629483°
E 46.505127°		 ← 261.72 m →
68 473 m²		 N 77.629483°
E 46.516113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629196166992188 y=0.146316528320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629196166992188 × 215)
    floor (0.629196166992188 × 32768)
    floor (20617.5)     		tx = 20617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146316528320312 × 215)
    floor (0.146316528320312 × 32768)
    floor (4794.5)     		ty = 4794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20617 / 4794 ti = "15/20617/4794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20617/4794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20617 ÷ 215
    20617 ÷ 32768     		x = 0.629180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4794 ÷ 215
    4794 ÷ 32768     		y = 0.14630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629180908203125 × 2 - 1) × π
    0.25836181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81166758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14630126953125 × 2 - 1) × π
    0.7073974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2223546663858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81166758} λ = 0.81166758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2223546663858))-π/2
    2×atan(9.2290366032313)-π/2
    2×1.46286373581692-π/2
    2.92572747163384-1.57079632675     		φ = 1.35493114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81166758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.505127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35493114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.631836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20617 KachelY 4794 0.81166758 1.35493114 46.505127 77.631836
    Oben rechts KachelX + 1 20618 KachelY 4794 0.81185933 1.35493114 46.516113 77.631836
    Unten links KachelX 20617 KachelY + 1 4795 0.81166758 1.35489007 46.505127 77.629483
    Unten rechts KachelX + 1 20618 KachelY + 1 4795 0.81185933 1.35489007 46.516113 77.629483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35493114-1.35489007) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dl = 261.65696999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35493114-1.35489007) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dr = 261.65696999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81166758-0.81185933) × cos(1.35493114) × R
    0.000191749999999935 × 0.214192615420111 × 6371000     		do = 261.666106057275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81166758-0.81185933) × cos(1.35489007) × R
    0.000191749999999935 × 0.214232732064028 × 6371000     		du = 261.715114124061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35493114)-sin(1.35489007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214192615420111-0.214232732064028)×R²
    abs(0.81185933-0.81166758)×4.01166439165657e-05×R²
    0.000191749999999935×4.01166439165657e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.01166439165657e-05×40589641000000     		ar = 68473.1721231239m²