Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20617 / 3961
↖ ↑ ↗
← N 79.446465°
E 46.505127°		 ← 223.75 m → N 79.446465°
E 46.516113°		 →
↑
223.75 m
↓
↑
223.75 m
↓
N 79.444453°
E 46.505127°		 ← 223.79 m →
50 068 m²		 N 79.444453°
E 46.516113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629196166992188 y=0.120895385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629196166992188 × 215)
    floor (0.629196166992188 × 32768)
    floor (20617.5)     		tx = 20617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120895385742188 × 215)
    floor (0.120895385742188 × 32768)
    floor (3961.5)     		ty = 3961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20617 / 3961 ti = "15/20617/3961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20617/3961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20617 ÷ 215
    20617 ÷ 32768     		x = 0.629180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3961 ÷ 215
    3961 ÷ 32768     		y = 0.120880126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629180908203125 × 2 - 1) × π
    0.25836181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81166758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120880126953125 × 2 - 1) × π
    0.75823974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38208041591983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81166758} λ = 0.81166758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38208041591983))-π/2
    2×atan(10.8274049545994)-π/2
    2×1.47869936352122-π/2
    2.95739872704244-1.57079632675     		φ = 1.38660240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81166758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.505127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38660240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.446465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20617 KachelY 3961 0.81166758 1.38660240 46.505127 79.446465
    Oben rechts KachelX + 1 20618 KachelY 3961 0.81185933 1.38660240 46.516113 79.446465
    Unten links KachelX 20617 KachelY + 1 3962 0.81166758 1.38656728 46.505127 79.444453
    Unten rechts KachelX + 1 20618 KachelY + 1 3962 0.81185933 1.38656728 46.516113 79.444453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38660240-1.38656728) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000     		dl = 223.749519999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38660240-1.38656728) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000     		dr = 223.749519999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81166758-0.81185933) × cos(1.38660240) × R
    0.000191749999999935 × 0.18315415527989 × 6371000     		do = 223.748304890432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81166758-0.81185933) × cos(1.38656728) × R
    0.000191749999999935 × 0.183188681084233 × 6371000     		du = 223.790482968155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38660240)-sin(1.38656728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18315415527989-0.183188681084233)×R²
    abs(0.81185933-0.81166758)×3.45258043428776e-05×R²
    0.000191749999999935×3.45258043428776e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.45258043428776e-05×40589641000000     		ar = 50068.2944873505m²