Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20615 / 4743
↖ ↑ ↗
← N 77.751278°
E 46.483154°		 ← 259.18 m → N 77.751278°
E 46.494141°		 →
↑
259.24 m
↓
↑
259.24 m
↓
N 77.748946°
E 46.483154°		 ← 259.23 m →
67 195 m²		 N 77.748946°
E 46.494141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629135131835938 y=0.144760131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629135131835938 × 215)
    floor (0.629135131835938 × 32768)
    floor (20615.5)     		tx = 20615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144760131835938 × 215)
    floor (0.144760131835938 × 32768)
    floor (4743.5)     		ty = 4743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20615 / 4743 ti = "15/20615/4743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20615/4743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20615 ÷ 215
    20615 ÷ 32768     		x = 0.629119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4743 ÷ 215
    4743 ÷ 32768     		y = 0.144744873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629119873046875 × 2 - 1) × π
    0.25823974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81128409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144744873046875 × 2 - 1) × π
    0.71051025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23213379390829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81128409} λ = 0.81128409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23213379390829))-π/2
    2×atan(9.31973126363911)-π/2
    2×1.46390605734307-π/2
    2.92781211468613-1.57079632675     		φ = 1.35701579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81128409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.483154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35701579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.751278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20615 KachelY 4743 0.81128409 1.35701579 46.483154 77.751278
    Oben rechts KachelX + 1 20616 KachelY 4743 0.81147584 1.35701579 46.494141 77.751278
    Unten links KachelX 20615 KachelY + 1 4744 0.81128409 1.35697510 46.483154 77.748946
    Unten rechts KachelX + 1 20616 KachelY + 1 4744 0.81147584 1.35697510 46.494141 77.748946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35701579-1.35697510) × R
    4.06899999998434e-05 × 6371000     		dl = 259.235989999002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35701579-1.35697510) × R
    4.06899999998434e-05 × 6371000     		dr = 259.235989999002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81128409-0.81147584) × cos(1.35701579) × R
    0.000191749999999935 × 0.212155883197628 × 6371000     		do = 259.17795403255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81128409-0.81147584) × cos(1.35697510) × R
    0.000191749999999935 × 0.212195646748196 × 6371000     		du = 259.226530746643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35701579)-sin(1.35697510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212155883197628-0.212195646748196)×R²
    abs(0.81147584-0.81128409)×3.97635505679228e-05×R²
    0.000191749999999935×3.97635505679228e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.97635505679228e-05×40589641000000     		ar = 67194.5499246417m²