Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20614 / 4746
↖ ↑ ↗
← N 77.744283°
E 46.472168°		 ← 259.32 m → N 77.744283°
E 46.483154°		 →
↑
259.30 m
↓
↑
259.30 m
↓
N 77.741951°
E 46.472168°		 ← 259.37 m →
67 249 m²		 N 77.741951°
E 46.483154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629104614257812 y=0.144851684570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629104614257812 × 215)
    floor (0.629104614257812 × 32768)
    floor (20614.5)     		tx = 20614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144851684570312 × 215)
    floor (0.144851684570312 × 32768)
    floor (4746.5)     		ty = 4746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20614 / 4746 ti = "15/20614/4746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20614/4746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20614 ÷ 215
    20614 ÷ 32768     		x = 0.62908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4746 ÷ 215
    4746 ÷ 32768     		y = 0.14483642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62908935546875 × 2 - 1) × π
    0.2581787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81109234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14483642578125 × 2 - 1) × π
    0.7103271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23155855111285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81109234} λ = 0.81109234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23155855111285))-π/2
    2×atan(9.31437169704808)-π/2
    2×1.46384501961646-π/2
    2.92769003923292-1.57079632675     		φ = 1.35689371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81109234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.472168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35689371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.744283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20614 KachelY 4746 0.81109234 1.35689371 46.472168 77.744283
    Oben rechts KachelX + 1 20615 KachelY 4746 0.81128409 1.35689371 46.483154 77.744283
    Unten links KachelX 20614 KachelY + 1 4747 0.81109234 1.35685301 46.472168 77.741951
    Unten rechts KachelX + 1 20615 KachelY + 1 4747 0.81128409 1.35685301 46.483154 77.741951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35689371-1.35685301) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dl = 259.299700000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35689371-1.35685301) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dr = 259.299700000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81109234-0.81128409) × cos(1.35689371) × R
    0.000191750000000046 × 0.212275182567383 × 6371000     		do = 259.323694825294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81109234-0.81128409) × cos(1.35685301) × R
    0.000191750000000046 × 0.212314954835699 × 6371000     		du = 259.372282189329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35689371)-sin(1.35685301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212275182567383-0.212314954835699)×R²
    abs(0.81128409-0.81109234)×3.97722683153356e-05×R²
    0.000191750000000046×3.97722683153356e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.97722683153356e-05×40589641000000     		ar = 67248.8556250855m²