Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20613 / 4796
↖ ↑ ↗
← N 77.627129°
E 46.461181°		 ← 261.76 m → N 77.627129°
E 46.472168°		 →
↑
261.78 m
↓
↑
261.78 m
↓
N 77.624775°
E 46.461181°		 ← 261.81 m →
68 532 m²		 N 77.624775°
E 46.472168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629074096679688 y=0.146377563476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629074096679688 × 215)
    floor (0.629074096679688 × 32768)
    floor (20613.5)     		tx = 20613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146377563476562 × 215)
    floor (0.146377563476562 × 32768)
    floor (4796.5)     		ty = 4796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20613 / 4796 ti = "15/20613/4796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20613/4796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20613 ÷ 215
    20613 ÷ 32768     		x = 0.629058837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4796 ÷ 215
    4796 ÷ 32768     		y = 0.1463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629058837890625 × 2 - 1) × π
    0.25811767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81090059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1463623046875 × 2 - 1) × π
    0.707275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22197117118884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81090059} λ = 0.81090059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22197117118884))-π/2
    2×atan(9.22549799058524)-π/2
    2×1.46282265720482-π/2
    2.92564531440963-1.57079632675     		φ = 1.35484899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81090059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.461181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35484899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.627129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20613 KachelY 4796 0.81090059 1.35484899 46.461181 77.627129
    Oben rechts KachelX + 1 20614 KachelY 4796 0.81109234 1.35484899 46.472168 77.627129
    Unten links KachelX 20613 KachelY + 1 4797 0.81090059 1.35480790 46.461181 77.624775
    Unten rechts KachelX + 1 20614 KachelY + 1 4797 0.81109234 1.35480790 46.472168 77.624775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35484899-1.35480790) × R
    4.10900000000769e-05 × 6371000     		dl = 261.78439000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35484899-1.35480790) × R
    4.10900000000769e-05 × 6371000     		dr = 261.78439000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81090059-0.81109234) × cos(1.35484899) × R
    0.000191749999999935 × 0.214272858114327 × 6371000     		do = 261.764133682054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81090059-0.81109234) × cos(1.35480790) × R
    0.000191749999999935 × 0.214312993570677 × 6371000     		du = 261.813164730848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35484899)-sin(1.35480790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214272858114327-0.214312993570677)×R²
    abs(0.81109234-0.81090059)×4.01354563498713e-05×R²
    0.000191749999999935×4.01354563498713e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.01354563498713e-05×40589641000000     		ar = 68532.1818508414m²