Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20613 / 3628
↖ ↑ ↗
← N 80.095914°
E 46.461181°		 ← 210.12 m → N 80.095914°
E 46.472168°		 →
↑
210.12 m
↓
↑
210.12 m
↓
N 80.094024°
E 46.461181°		 ← 210.16 m →
44 154 m²		 N 80.094024°
E 46.472168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629074096679688 y=0.110733032226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629074096679688 × 215)
    floor (0.629074096679688 × 32768)
    floor (20613.5)     		tx = 20613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110733032226562 × 215)
    floor (0.110733032226562 × 32768)
    floor (3628.5)     		ty = 3628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20613 / 3628 ti = "15/20613/3628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20613/3628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20613 ÷ 215
    20613 ÷ 32768     		x = 0.629058837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3628 ÷ 215
    3628 ÷ 32768     		y = 0.1107177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629058837890625 × 2 - 1) × π
    0.25811767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81090059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1107177734375 × 2 - 1) × π
    0.778564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44593236621375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81090059} λ = 0.81090059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44593236621375))-π/2
    2×atan(11.541305307061)-π/2
    2×1.48436687054434-π/2
    2.96873374108867-1.57079632675     		φ = 1.39793741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81090059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.461181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39793741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.095914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20613 KachelY 3628 0.81090059 1.39793741 46.461181 80.095914
    Oben rechts KachelX + 1 20614 KachelY 3628 0.81109234 1.39793741 46.472168 80.095914
    Unten links KachelX 20613 KachelY + 1 3629 0.81090059 1.39790443 46.461181 80.094024
    Unten rechts KachelX + 1 20614 KachelY + 1 3629 0.81109234 1.39790443 46.472168 80.094024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39793741-1.39790443) × R
    3.29799999998492e-05 × 6371000     		dl = 210.11557999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39793741-1.39790443) × R
    3.29799999998492e-05 × 6371000     		dr = 210.11557999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81090059-0.81109234) × cos(1.39793741) × R
    0.000191749999999935 × 0.171999358674057 × 6371000     		do = 210.121167530985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81090059-0.81109234) × cos(1.39790443) × R
    0.000191749999999935 × 0.1720318470816 × 6371000     		du = 210.16085664481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39793741)-sin(1.39790443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171999358674057-0.1720318470816)×R²
    abs(0.81109234-0.81090059)×3.2488407542719e-05×R²
    0.000191749999999935×3.2488407542719e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.2488407542719e-05×40589641000000     		ar = 44153.9006398464m²