Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20613 / 3625
↖ ↑ ↗
← N 80.101581°
E 46.461181°		 ← 210 m → N 80.101581°
E 46.472168°		 →
↑
210.05 m
↓
↑
210.05 m
↓
N 80.099692°
E 46.461181°		 ← 210.04 m →
44 116 m²		 N 80.099692°
E 46.472168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629074096679688 y=0.110641479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629074096679688 × 215)
    floor (0.629074096679688 × 32768)
    floor (20613.5)     		tx = 20613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110641479492188 × 215)
    floor (0.110641479492188 × 32768)
    floor (3625.5)     		ty = 3625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20613 / 3625 ti = "15/20613/3625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20613/3625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20613 ÷ 215
    20613 ÷ 32768     		x = 0.629058837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3625 ÷ 215
    3625 ÷ 32768     		y = 0.110626220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629058837890625 × 2 - 1) × π
    0.25811767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81090059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110626220703125 × 2 - 1) × π
    0.77874755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44650760900919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81090059} λ = 0.81090059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44650760900919))-π/2
    2×atan(11.5479462696887)-π/2
    2×1.48441632722486-π/2
    2.96883265444971-1.57079632675     		φ = 1.39803633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81090059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.461181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39803633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.101581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20613 KachelY 3625 0.81090059 1.39803633 46.461181 80.101581
    Oben rechts KachelX + 1 20614 KachelY 3625 0.81109234 1.39803633 46.472168 80.101581
    Unten links KachelX 20613 KachelY + 1 3626 0.81090059 1.39800336 46.461181 80.099692
    Unten rechts KachelX + 1 20614 KachelY + 1 3626 0.81109234 1.39800336 46.472168 80.099692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39803633-1.39800336) × R
    3.29700000001321e-05 × 6371000     		dl = 210.051870000841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39803633-1.39800336) × R
    3.29700000001321e-05 × 6371000     		dr = 210.051870000841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81090059-0.81109234) × cos(1.39803633) × R
    0.000191749999999935 × 0.17190191203137 × 6371000     		do = 210.002122887497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81090059-0.81109234) × cos(1.39800336) × R
    0.000191749999999935 × 0.17193439114885 × 6371000     		du = 210.041800652217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39803633)-sin(1.39800336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17190191203137-0.17193439114885)×R²
    abs(0.81109234-0.81090059)×3.24791174805827e-05×R²
    0.000191749999999935×3.24791174805827e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.24791174805827e-05×40589641000000     		ar = 44115.5058146317m²