Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20612 / 4734
↖ ↑ ↗
← N 77.772237°
E 46.450196°		 ← 258.73 m → N 77.772237°
E 46.461181°		 →
↑
258.73 m
↓
↑
258.73 m
↓
N 77.769910°
E 46.450196°		 ← 258.78 m →
66 946 m²		 N 77.769910°
E 46.461181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629043579101562 y=0.144485473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629043579101562 × 215)
    floor (0.629043579101562 × 32768)
    floor (20612.5)     		tx = 20612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144485473632812 × 215)
    floor (0.144485473632812 × 32768)
    floor (4734.5)     		ty = 4734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20612 / 4734 ti = "15/20612/4734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20612/4734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20612 ÷ 215
    20612 ÷ 32768     		x = 0.6290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4734 ÷ 215
    4734 ÷ 32768     		y = 0.14447021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6290283203125 × 2 - 1) × π
    0.258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81070885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14447021484375 × 2 - 1) × π
    0.7110595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23385952229462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81070885} λ = 0.81070885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23385952229462))-π/2
    2×atan(9.33582847414524)-π/2
    2×1.46408896478085-π/2
    2.92817792956169-1.57079632675     		φ = 1.35738160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81070885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.450196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35738160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.772237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20612 KachelY 4734 0.81070885 1.35738160 46.450196 77.772237
    Oben rechts KachelX + 1 20613 KachelY 4734 0.81090059 1.35738160 46.461181 77.772237
    Unten links KachelX 20612 KachelY + 1 4735 0.81070885 1.35734099 46.450196 77.769910
    Unten rechts KachelX + 1 20613 KachelY + 1 4735 0.81090059 1.35734099 46.461181 77.769910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35738160-1.35734099) × R
    4.06100000001075e-05 × 6371000     		dl = 258.726310000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35738160-1.35734099) × R
    4.06100000001075e-05 × 6371000     		dr = 258.726310000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81070885-0.81090059) × cos(1.35738160) × R
    0.000191739999999996 × 0.21179838636902 × 6371000     		do = 258.727728199859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81070885-0.81090059) × cos(1.35734099) × R
    0.000191739999999996 × 0.211838074890742 × 6371000     		du = 258.776210727213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35738160)-sin(1.35734099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21179838636902-0.211838074890742)×R²
    abs(0.81090059-0.81070885)×3.96885217217036e-05×R²
    0.000191739999999996×3.96885217217036e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.96885217217036e-05×40589641000000     		ar = 66945.9422737497m²