Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20612 / 3644
↖ ↑ ↗
← N 80.065634°
E 46.450196°		 ← 210.75 m → N 80.065634°
E 46.461181°		 →
↑
210.75 m
↓
↑
210.75 m
↓
N 80.063739°
E 46.450196°		 ← 210.79 m →
44 420 m²		 N 80.063739°
E 46.461181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629043579101562 y=0.111221313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629043579101562 × 215)
    floor (0.629043579101562 × 32768)
    floor (20612.5)     		tx = 20612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111221313476562 × 215)
    floor (0.111221313476562 × 32768)
    floor (3644.5)     		ty = 3644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20612 / 3644 ti = "15/20612/3644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20612/3644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20612 ÷ 215
    20612 ÷ 32768     		x = 0.6290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3644 ÷ 215
    3644 ÷ 32768     		y = 0.1112060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6290283203125 × 2 - 1) × π
    0.258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81070885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1112060546875 × 2 - 1) × π
    0.777587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44286440463806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81070885} λ = 0.81070885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44286440463806))-π/2
    2×atan(11.5059512859653)-π/2
    2×1.48410262774994-π/2
    2.96820525549988-1.57079632675     		φ = 1.39740893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81070885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.450196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39740893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.065634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20612 KachelY 3644 0.81070885 1.39740893 46.450196 80.065634
    Oben rechts KachelX + 1 20613 KachelY 3644 0.81090059 1.39740893 46.461181 80.065634
    Unten links KachelX 20612 KachelY + 1 3645 0.81070885 1.39737585 46.450196 80.063739
    Unten rechts KachelX + 1 20613 KachelY + 1 3645 0.81090059 1.39737585 46.461181 80.063739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39740893-1.39737585) × R
    3.30800000001297e-05 × 6371000     		dl = 210.752680000826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39740893-1.39737585) × R
    3.30800000001297e-05 × 6371000     		dr = 210.752680000826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81070885-0.81090059) × cos(1.39740893) × R
    0.000191739999999996 × 0.172519938725951 × 6371000     		do = 210.746137309916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81070885-0.81090059) × cos(1.39737585) × R
    0.000191739999999996 × 0.172552522630883 × 6371000     		du = 210.785941011179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39740893)-sin(1.39737585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172519938725951-0.172552522630883)×R²
    abs(0.81090059-0.81070885)×3.25839049325205e-05×R²
    0.000191739999999996×3.25839049325205e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.25839049325205e-05×40589641000000     		ar = 44419.5076101385m²