Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20612 / 12154
↖ ↑ ↗
← N 81.150016°
W123.387451°		 ← 46.99 m → N 81.150016°
W123.384704°		 →
↑
46.95 m
↓
↑
46.95 m
↓
N 81.149594°
W123.387451°		 ← 46.99 m →
2 206 m²		 N 81.149594°
W123.384704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157260894775391 y=0.0927314758300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157260894775391 × 217)
    floor (0.157260894775391 × 131072)
    floor (20612.5)     		tx = 20612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0927314758300781 × 217)
    floor (0.0927314758300781 × 131072)
    floor (12154.5)     		ty = 12154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20612 / 12154 ti = "17/20612/12154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20612/12154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20612 ÷ 217
    20612 ÷ 131072     		x = 0.157257080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12154 ÷ 217
    12154 ÷ 131072     		y = 0.0927276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157257080078125 × 2 - 1) × π
    -0.68548583984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15351728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0927276611328125 × 2 - 1) × π
    0.814544677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.55896757551784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15351728} λ = -2.15351728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55896757551784))-π/2
    2×atan(12.9224689528236)-π/2
    2×1.49356565050857-π/2
    2.98713130101715-1.57079632675     		φ = 1.41633497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15351728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.387451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41633497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.150016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20612 KachelY 12154 -2.15351728 1.41633497 -123.387451 81.150016
    Oben rechts KachelX + 1 20613 KachelY 12154 -2.15346934 1.41633497 -123.384704 81.150016
    Unten links KachelX 20612 KachelY + 1 12155 -2.15351728 1.41632760 -123.387451 81.149594
    Unten rechts KachelX + 1 20613 KachelY + 1 12155 -2.15346934 1.41632760 -123.384704 81.149594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41633497-1.41632760) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dl = 46.9542700003953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41633497-1.41632760) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dr = 46.9542700003953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15351728--2.15346934) × cos(1.41633497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153847891223612 × 6371000     		do = 46.9891060243804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15351728--2.15346934) × cos(1.41632760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153855173476217 × 6371000     		du = 46.9913302117712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41633497)-sin(1.41632760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153847891223612-0.153855173476217)×R²
    abs(-2.15346934--2.15351728)×7.28225260535065e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.28225260535065e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.28225260535065e-06×40589641000000     		ar = 2206.39138899517m²