Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20611 / 4795
↖ ↑ ↗
← N 77.629483°
E 46.439209°		 ← 261.72 m → N 77.629483°
E 46.450196°		 →
↑
261.72 m
↓
↑
261.72 m
↓
N 77.627129°
E 46.439209°		 ← 261.76 m →
68 503 m²		 N 77.627129°
E 46.450196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629013061523438 y=0.146347045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629013061523438 × 215)
    floor (0.629013061523438 × 32768)
    floor (20611.5)     		tx = 20611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146347045898438 × 215)
    floor (0.146347045898438 × 32768)
    floor (4795.5)     		ty = 4795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20611 / 4795 ti = "15/20611/4795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20611/4795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20611 ÷ 215
    20611 ÷ 32768     		x = 0.628997802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4795 ÷ 215
    4795 ÷ 32768     		y = 0.146331787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628997802734375 × 2 - 1) × π
    0.25799560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81051710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146331787109375 × 2 - 1) × π
    0.70733642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22216291878732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81051710} λ = 0.81051710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22216291878732))-π/2
    2×atan(9.22726712727815)-π/2
    2×1.46284319843433-π/2
    2.92568639686866-1.57079632675     		φ = 1.35489007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81051710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.439209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35489007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.629483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20611 KachelY 4795 0.81051710 1.35489007 46.439209 77.629483
    Oben rechts KachelX + 1 20612 KachelY 4795 0.81070885 1.35489007 46.450196 77.629483
    Unten links KachelX 20611 KachelY + 1 4796 0.81051710 1.35484899 46.439209 77.627129
    Unten rechts KachelX + 1 20612 KachelY + 1 4796 0.81070885 1.35484899 46.450196 77.627129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35489007-1.35484899) × R
    4.10799999999156e-05 × 6371000     		dl = 261.720679999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35489007-1.35484899) × R
    4.10799999999156e-05 × 6371000     		dr = 261.720679999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81051710-0.81070885) × cos(1.35489007) × R
    0.000191750000000046 × 0.214232732064028 × 6371000     		do = 261.715114124213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81051710-0.81070885) × cos(1.35484899) × R
    0.000191750000000046 × 0.214272858114327 × 6371000     		du = 261.764133682206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35489007)-sin(1.35484899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214232732064028-0.214272858114327)×R²
    abs(0.81070885-0.81051710)×4.01260502990164e-05×R²
    0.000191750000000046×4.01260502990164e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.01260502990164e-05×40589641000000     		ar = 68502.6723606649m²