Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20611 / 3973
↖ ↑ ↗
← N 79.422292°
E 46.439209°		 ← 224.25 m → N 79.422292°
E 46.450196°		 →
↑
224.26 m
↓
↑
224.26 m
↓
N 79.420275°
E 46.439209°		 ← 224.30 m →
50 296 m²		 N 79.420275°
E 46.450196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629013061523438 y=0.121261596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629013061523438 × 215)
    floor (0.629013061523438 × 32768)
    floor (20611.5)     		tx = 20611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121261596679688 × 215)
    floor (0.121261596679688 × 32768)
    floor (3973.5)     		ty = 3973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20611 / 3973 ti = "15/20611/3973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20611/3973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20611 ÷ 215
    20611 ÷ 32768     		x = 0.628997802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3973 ÷ 215
    3973 ÷ 32768     		y = 0.121246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628997802734375 × 2 - 1) × π
    0.25799560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81051710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121246337890625 × 2 - 1) × π
    0.75750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37977944473807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81051710} λ = 0.81051710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37977944473807))-π/2
    2×atan(10.8025200485308)-π/2
    2×1.47848840880625-π/2
    2.9569768176125-1.57079632675     		φ = 1.38618049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81051710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.439209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38618049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.422292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20611 KachelY 3973 0.81051710 1.38618049 46.439209 79.422292
    Oben rechts KachelX + 1 20612 KachelY 3973 0.81070885 1.38618049 46.450196 79.422292
    Unten links KachelX 20611 KachelY + 1 3974 0.81051710 1.38614529 46.439209 79.420275
    Unten rechts KachelX + 1 20612 KachelY + 1 3974 0.81070885 1.38614529 46.450196 79.420275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38618049-1.38614529) × R
    3.5200000000124e-05 × 6371000     		dl = 224.25920000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38618049-1.38614529) × R
    3.5200000000124e-05 × 6371000     		dr = 224.25920000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81051710-0.81070885) × cos(1.38618049) × R
    0.000191750000000046 × 0.183568912023334 × 6371000     		do = 224.254988007556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81051710-0.81070885) × cos(1.38614529) × R
    0.000191750000000046 × 0.183603513750497 × 6371000     		du = 224.297258835576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38618049)-sin(1.38614529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183568912023334-0.183603513750497)×R²
    abs(0.81070885-0.81051710)×3.46017271626309e-05×R²
    0.000191750000000046×3.46017271626309e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.46017271626309e-05×40589641000000     		ar = 50295.9840225208m²