Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20611 / 36989
↖ ↑ ↗
← N 61.442707°
W123.390198°		 ← 146 m → N 61.442707°
W123.387451°		 →
↑
145.96 m
↓
↑
145.96 m
↓
N 61.441394°
W123.390198°		 ← 146.01 m →
21 311 m²		 N 61.441394°
W123.387451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157253265380859 y=0.282207489013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157253265380859 × 217)
    floor (0.157253265380859 × 131072)
    floor (20611.5)     		tx = 20611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282207489013672 × 217)
    floor (0.282207489013672 × 131072)
    floor (36989.5)     		ty = 36989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20611 / 36989 ti = "17/20611/36989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20611/36989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20611 ÷ 217
    20611 ÷ 131072     		x = 0.157249450683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36989 ÷ 217
    36989 ÷ 131072     		y = 0.282203674316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157249450683594 × 2 - 1) × π
    -0.685501098632812 × 3.1415926535     		Λ = -2.15356522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282203674316406 × 2 - 1) × π
    0.435592651367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.36845467345374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15356522} λ = -2.15356522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36845467345374))-π/2
    2×atan(3.92927399002833)-π/2
    2×1.32158692956431-π/2
    2.64317385912863-1.57079632675     		φ = 1.07237753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15356522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.390198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07237753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.442707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20611 KachelY 36989 -2.15356522 1.07237753 -123.390198 61.442707
    Oben rechts KachelX + 1 20612 KachelY 36989 -2.15351728 1.07237753 -123.387451 61.442707
    Unten links KachelX 20611 KachelY + 1 36990 -2.15356522 1.07235462 -123.390198 61.441394
    Unten rechts KachelX + 1 20612 KachelY + 1 36990 -2.15351728 1.07235462 -123.387451 61.441394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07237753-1.07235462) × R
    2.29099999999871e-05 × 6371000     		dl = 145.959609999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07237753-1.07235462) × R
    2.29099999999871e-05 × 6371000     		dr = 145.959609999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15356522--2.15351728) × cos(1.07237753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.47803730349223 × 6371000     		do = 146.004897166623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15356522--2.15351728) × cos(1.07235462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.478057426125492 × 6371000     		du = 146.011043136778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07237753)-sin(1.07235462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47803730349223-0.478057426125492)×R²
    abs(-2.15351728--2.15356522)×2.01226332621762e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01226332621762e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01226332621762e-05×40589641000000     		ar = 21311.2663811555m²