Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20611 / 35967
↖ ↑ ↗
← N 62.755983°
W123.390198°		 ← 139.82 m → N 62.755983°
W123.387451°		 →
↑
139.78 m
↓
↑
139.78 m
↓
N 62.754726°
W123.390198°		 ← 139.82 m →
19 544 m²		 N 62.754726°
W123.387451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157253265380859 y=0.274410247802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157253265380859 × 217)
    floor (0.157253265380859 × 131072)
    floor (20611.5)     		tx = 20611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274410247802734 × 217)
    floor (0.274410247802734 × 131072)
    floor (35967.5)     		ty = 35967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20611 / 35967 ti = "17/20611/35967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20611/35967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20611 ÷ 217
    20611 ÷ 131072     		x = 0.157249450683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35967 ÷ 217
    35967 ÷ 131072     		y = 0.274406433105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157249450683594 × 2 - 1) × π
    -0.685501098632812 × 3.1415926535     		Λ = -2.15356522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274406433105469 × 2 - 1) × π
    0.451187133789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.41744618486544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15356522} λ = -2.15356522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41744618486544))-π/2
    2×atan(4.12656847907163)-π/2
    2×1.33304743023312-π/2
    2.66609486046624-1.57079632675     		φ = 1.09529853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15356522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.390198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09529853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.755983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20611 KachelY 35967 -2.15356522 1.09529853 -123.390198 62.755983
    Oben rechts KachelX + 1 20612 KachelY 35967 -2.15351728 1.09529853 -123.387451 62.755983
    Unten links KachelX 20611 KachelY + 1 35968 -2.15356522 1.09527659 -123.390198 62.754726
    Unten rechts KachelX + 1 20612 KachelY + 1 35968 -2.15351728 1.09527659 -123.387451 62.754726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09529853-1.09527659) × R
    2.1939999999887e-05 × 6371000     		dl = 139.77973999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09529853-1.09527659) × R
    2.1939999999887e-05 × 6371000     		dr = 139.77973999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15356522--2.15351728) × cos(1.09529853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457781077562612 × 6371000     		do = 139.818124372466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15356522--2.15351728) × cos(1.09527659) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.45780058353743 × 6371000     		du = 139.82408199926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09529853)-sin(1.09527659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457781077562612-0.45780058353743)×R²
    abs(-2.15351728--2.15356522)×1.95059748181459e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95059748181459e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95059748181459e-05×40589641000000     		ar = 19544.1574504817m²