Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20610 / 36990
↖ ↑ ↗
← N 61.441394°
W123.392944°		 ← 145.98 m → N 61.441394°
W123.390198°		 →
↑
146.02 m
↓
↑
146.02 m
↓
N 61.440081°
W123.392944°		 ← 145.99 m →
21 317 m²		 N 61.440081°
W123.390198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157245635986328 y=0.282215118408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157245635986328 × 217)
    floor (0.157245635986328 × 131072)
    floor (20610.5)     		tx = 20610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282215118408203 × 217)
    floor (0.282215118408203 × 131072)
    floor (36990.5)     		ty = 36990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20610 / 36990 ti = "17/20610/36990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20610/36990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20610 ÷ 217
    20610 ÷ 131072     		x = 0.157241821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36990 ÷ 217
    36990 ÷ 131072     		y = 0.282211303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157241821289062 × 2 - 1) × π
    -0.685516357421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15361315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282211303710938 × 2 - 1) × π
    0.435577392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.36840673655412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15361315} λ = -2.15361315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36840673655412))-π/2
    2×atan(3.92908563733005)-π/2
    2×1.32157547151003-π/2
    2.64315094302006-1.57079632675     		φ = 1.07235462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15361315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.392944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07235462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.441394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20610 KachelY 36990 -2.15361315 1.07235462 -123.392944 61.441394
    Oben rechts KachelX + 1 20611 KachelY 36990 -2.15356522 1.07235462 -123.390198 61.441394
    Unten links KachelX 20610 KachelY + 1 36991 -2.15361315 1.07233170 -123.392944 61.440081
    Unten rechts KachelX + 1 20611 KachelY + 1 36991 -2.15356522 1.07233170 -123.390198 61.440081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07235462-1.07233170) × R
    2.29199999999263e-05 × 6371000     		dl = 146.023319999531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07235462-1.07233170) × R
    2.29199999999263e-05 × 6371000     		dr = 146.023319999531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15361315--2.15356522) × cos(1.07235462) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.478057426125492 × 6371000     		do = 145.980586098345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15361315--2.15356522) × cos(1.07233170) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.478077557291013 × 6371000     		du = 145.986733391914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07235462)-sin(1.07233170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478057426125492-0.478077557291013)×R²
    abs(-2.15356522--2.15361315)×2.01311655212977e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.01311655212977e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.01311655212977e-05×40589641000000     		ar = 21317.0186625337m²