Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2061 / 1001
↖ ↑ ↗
← N 67.305976°
E  1.142578°		 ← 3 770.51 m → N 67.305976°
E  1.230469°		 →
↑
3 773.16 m
↓
↑
3 773.16 m
↓
N 67.272043°
E  1.142578°		 ← 3 775.85 m →
14 236 831 m²		 N 67.272043°
E  1.230469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5032958984375 y=0.2445068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5032958984375 × 212)
    floor (0.5032958984375 × 4096)
    floor (2061.5)     		tx = 2061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2445068359375 × 212)
    floor (0.2445068359375 × 4096)
    floor (1001.5)     		ty = 1001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2061 / 1001 ti = "12/2061/1001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2061/1001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2061 ÷ 212
    2061 ÷ 4096     		x = 0.503173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1001 ÷ 212
    1001 ÷ 4096     		y = 0.244384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503173828125 × 2 - 1) × π
    0.00634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01994175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244384765625 × 2 - 1) × π
    0.51123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.60607788487036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01994175} λ = 0.01994175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60607788487036))-π/2
    2×atan(4.98322805505926)-π/2
    2×1.37275360488998-π/2
    2.74550720977995-1.57079632675     		φ = 1.17471088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01994175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.142578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17471088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.305976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2061 KachelY 1001 0.01994175 1.17471088 1.142578 67.305976
    Oben rechts KachelX + 1 2062 KachelY 1001 0.02147573 1.17471088 1.230469 67.305976
    Unten links KachelX 2061 KachelY + 1 1002 0.01994175 1.17411864 1.142578 67.272043
    Unten rechts KachelX + 1 2062 KachelY + 1 1002 0.02147573 1.17411864 1.230469 67.272043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17471088-1.17411864) × R
    0.0005922399999998 × 6371000     		dl = 3773.16103999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17471088-1.17411864) × R
    0.0005922399999998 × 6371000     		dr = 3773.16103999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01994175-0.02147573) × cos(1.17471088) × R
    0.00153398 × 0.385809825584531 × 6371000     		do = 3770.51424786976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01994175-0.02147573) × cos(1.17411864) × R
    0.00153398 × 0.38635614568282 × 6371000     		du = 3775.85342685871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17471088)-sin(1.17411864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385809825584531-0.38635614568282)×R²
    abs(0.02147573-0.01994175)×0.000546320098288311×R²
    0.00153398×0.000546320098288311×6371000²
    0.00153398×0.000546320098288311×40589641000000     		ar = 14236830.6680269m²