Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20608 / 4739
N 77.760597°
E 46.406250°
← 258.97 m → N 77.760597°
E 46.417236°

259.04 m

259.04 m
N 77.758268°
E 46.406250°
← 259.02 m →
67 091 m²
N 77.758268°
E 46.417236°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628921508789062 y=0.144638061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628921508789062 × 215)
    floor (0.628921508789062 × 32768)
    floor (20608.5)
    tx = 20608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144638061523438 × 215)
    floor (0.144638061523438 × 32768)
    floor (4739.5)
    ty = 4739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20608 / 4739 ti = "15/20608/4739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20608/4739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20608 ÷ 215
    20608 ÷ 32768
    x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4739 ÷ 215
    4739 ÷ 32768
    y = 0.144622802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535
    Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.144622802734375 × 2 - 1) × π
    0.71075439453125 × 3.1415926535
    Φ = 2.23290078430222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23290078430222))-π/2
    2×atan(9.32688214997225)-π/2
    2×1.46398738762214-π/2
    2.92797477524428-1.57079632675
    φ = 1.35717845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35717845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.760597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20608 KachelY 4739 0.80994186 1.35717845 46.406250 77.760597
    Oben rechts KachelX + 1 20609 KachelY 4739 0.81013360 1.35717845 46.417236 77.760597
    Unten links KachelX 20608 KachelY + 1 4740 0.80994186 1.35713779 46.406250 77.758268
    Unten rechts KachelX + 1 20609 KachelY + 1 4740 0.81013360 1.35713779 46.417236 77.758268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.35717845-1.35713779) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000
    dl = 259.044860000164m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.35717845-1.35713779) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000
    dr = 259.044860000164m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81013360) × cos(1.35717845) × R
    0.000191739999999996 × 0.211996923210434 × 6371000
    do = 258.970255949119m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81013360) × cos(1.35713779) × R
    0.000191739999999996 × 0.212036658846939 × 6371000
    du = 259.018796030739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.35717845)-sin(1.35713779))×
    abs(λ12)×abs(0.211996923210434-0.212036658846939)×
    abs(0.81013360-0.80994186)×3.97356365048063e-05×
    0.000191739999999996×3.97356365048063e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.97356365048063e-05×40589641000000
    ar = 67091.2007352777m²