Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20608 / 4738
↖ ↑ ↗
← N 77.762926°
E 46.406250°		 ← 258.92 m → N 77.762926°
E 46.417236°		 →
↑
258.92 m
↓
↑
258.92 m
↓
N 77.760597°
E 46.406250°		 ← 258.97 m →
67 046 m²		 N 77.760597°
E 46.417236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628921508789062 y=0.144607543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628921508789062 × 215)
    floor (0.628921508789062 × 32768)
    floor (20608.5)     		tx = 20608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144607543945312 × 215)
    floor (0.144607543945312 × 32768)
    floor (4738.5)     		ty = 4738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20608 / 4738 ti = "15/20608/4738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20608/4738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20608 ÷ 215
    20608 ÷ 32768     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4738 ÷ 215
    4738 ÷ 32768     		y = 0.14459228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14459228515625 × 2 - 1) × π
    0.7108154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2330925319007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2330925319007))-π/2
    2×atan(9.32867072869817)-π/2
    2×1.46400771066852-π/2
    2.92801542133703-1.57079632675     		φ = 1.35721909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35721909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.762926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20608 KachelY 4738 0.80994186 1.35721909 46.406250 77.762926
    Oben rechts KachelX + 1 20609 KachelY 4738 0.81013360 1.35721909 46.417236 77.762926
    Unten links KachelX 20608 KachelY + 1 4739 0.80994186 1.35717845 46.406250 77.760597
    Unten rechts KachelX + 1 20609 KachelY + 1 4739 0.81013360 1.35717845 46.417236 77.760597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35721909-1.35717845) × R
    4.06400000001472e-05 × 6371000     		dl = 258.917440000938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35721909-1.35717845) × R
    4.06400000001472e-05 × 6371000     		dr = 258.917440000938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81013360) × cos(1.35721909) × R
    0.000191739999999996 × 0.211957206769027 × 6371000     		do = 258.92173931576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81013360) × cos(1.35717845) × R
    0.000191739999999996 × 0.211996923210434 × 6371000     		du = 258.970255949119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35721909)-sin(1.35717845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211957206769027-0.211996923210434)×R²
    abs(0.81013360-0.80994186)×3.97164414067674e-05×R²
    0.000191739999999996×3.97164414067674e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.97164414067674e-05×40589641000000     		ar = 67045.6348143462m²