Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20608 / 12153
↖ ↑ ↗
← N 81.150439°
W123.398438°		 ← 46.99 m → N 81.150439°
W123.395691°		 →
↑
47.02 m
↓
↑
47.02 m
↓
N 81.150016°
W123.398438°		 ← 46.99 m →
2 209 m²		 N 81.150016°
W123.395691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157230377197266 y=0.0927238464355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157230377197266 × 217)
    floor (0.157230377197266 × 131072)
    floor (20608.5)     		tx = 20608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0927238464355469 × 217)
    floor (0.0927238464355469 × 131072)
    floor (12153.5)     		ty = 12153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20608 / 12153 ti = "17/20608/12153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20608/12153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20608 ÷ 217
    20608 ÷ 131072     		x = 0.1572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12153 ÷ 217
    12153 ÷ 131072     		y = 0.0927200317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1572265625 × 2 - 1) × π
    -0.685546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15370903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0927200317382812 × 2 - 1) × π
    0.814559936523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.55901551241746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15370903} λ = -2.15370903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55901551241746))-π/2
    2×atan(12.9230884307685)-π/2
    2×1.4935693379166-π/2
    2.98713867583321-1.57079632675     		φ = 1.41634235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15370903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.398438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41634235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.150439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20608 KachelY 12153 -2.15370903 1.41634235 -123.398438 81.150439
    Oben rechts KachelX + 1 20609 KachelY 12153 -2.15366109 1.41634235 -123.395691 81.150439
    Unten links KachelX 20608 KachelY + 1 12154 -2.15370903 1.41633497 -123.398438 81.150016
    Unten rechts KachelX + 1 20609 KachelY + 1 12154 -2.15366109 1.41633497 -123.395691 81.150016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41634235-1.41633497) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dl = 47.0179800000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41634235-1.41633497) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dr = 47.0179800000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15370903--2.15366109) × cos(1.41634235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153840599081693 × 6371000     		do = 46.9868788165387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15370903--2.15366109) × cos(1.41633497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153847891223612 × 6371000     		du = 46.9891060243804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41634235)-sin(1.41633497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153840599081693-0.153847891223612)×R²
    abs(-2.15366109--2.15370903)×7.29214191860783e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.29214191860783e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.29214191860783e-06×40589641000000     		ar = 2209.28048771312m²