Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20607 / 28801
↖ ↑ ↗
← N 70.494656°
W123.401184°		 ← 101.96 m → N 70.494656°
W123.398438°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
N 70.493739°
W123.401184°		 ← 101.96 m →
10 400 m²		 N 70.493739°
W123.398438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157222747802734 y=0.219738006591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157222747802734 × 217)
    floor (0.157222747802734 × 131072)
    floor (20607.5)     		tx = 20607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219738006591797 × 217)
    floor (0.219738006591797 × 131072)
    floor (28801.5)     		ty = 28801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20607 / 28801 ti = "17/20607/28801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20607/28801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20607 ÷ 217
    20607 ÷ 131072     		x = 0.157218933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28801 ÷ 217
    28801 ÷ 131072     		y = 0.219734191894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157218933105469 × 2 - 1) × π
    -0.685562133789062 × 3.1415926535     		Λ = -2.15375696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219734191894531 × 2 - 1) × π
    0.560531616210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.76096200754276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15375696} λ = -2.15375696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76096200754276))-π/2
    2×atan(5.81803169346535)-π/2
    2×1.40058009381534-π/2
    2.80116018763067-1.57079632675     		φ = 1.23036386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15375696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.401184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23036386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.494656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20607 KachelY 28801 -2.15375696 1.23036386 -123.401184 70.494656
    Oben rechts KachelX + 1 20608 KachelY 28801 -2.15370903 1.23036386 -123.398438 70.494656
    Unten links KachelX 20607 KachelY + 1 28802 -2.15375696 1.23034785 -123.401184 70.493739
    Unten rechts KachelX + 1 20608 KachelY + 1 28802 -2.15370903 1.23034785 -123.398438 70.493739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23036386-1.23034785) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dl = 101.999709999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23036386-1.23034785) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dr = 101.999709999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15375696--2.15370903) × cos(1.23036386) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333894771031048 × 6371000     		do = 101.958785088488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15375696--2.15370903) × cos(1.23034785) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333909862180043 × 6371000     		du = 101.963393352381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23036386)-sin(1.23034785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333894771031048-0.333909862180043)×R²
    abs(-2.15370903--2.15375696)×1.50911489953387e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50911489953387e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50911489953387e-05×40589641000000     		ar = 10400.0015320827m²