Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20606 / 3622
↖ ↑ ↗
← N 80.107246°
E 46.384277°		 ← 209.88 m → N 80.107246°
E 46.395264°		 →
↑
209.92 m
↓
↑
209.92 m
↓
N 80.105358°
E 46.384277°		 ← 209.92 m →
44 064 m²		 N 80.105358°
E 46.395264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628860473632812 y=0.110549926757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628860473632812 × 215)
    floor (0.628860473632812 × 32768)
    floor (20606.5)     		tx = 20606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110549926757812 × 215)
    floor (0.110549926757812 × 32768)
    floor (3622.5)     		ty = 3622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20606 / 3622 ti = "15/20606/3622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20606/3622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20606 ÷ 215
    20606 ÷ 32768     		x = 0.62884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3622 ÷ 215
    3622 ÷ 32768     		y = 0.11053466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62884521484375 × 2 - 1) × π
    0.2576904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.80955836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11053466796875 × 2 - 1) × π
    0.7789306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44708285180463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80955836} λ = 0.80955836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44708285180463))-π/2
    2×atan(11.5545910535813)-π/2
    2×1.48446575588722-π/2
    2.96893151177443-1.57079632675     		φ = 1.39813519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80955836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.384277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39813519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.107246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20606 KachelY 3622 0.80955836 1.39813519 46.384277 80.107246
    Oben rechts KachelX + 1 20607 KachelY 3622 0.80975011 1.39813519 46.395264 80.107246
    Unten links KachelX 20606 KachelY + 1 3623 0.80955836 1.39810224 46.384277 80.105358
    Unten rechts KachelX + 1 20607 KachelY + 1 3623 0.80975011 1.39810224 46.395264 80.105358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39813519-1.39810224) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dl = 209.924450000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39813519-1.39810224) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dr = 209.924450000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80955836-0.80975011) × cos(1.39813519) × R
    0.000191749999999935 × 0.171804522814457 × 6371000     		do = 209.88314839759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80955836-0.80975011) × cos(1.39810224) × R
    0.000191749999999935 × 0.171836982789623 × 6371000     		du = 209.922802777307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39813519)-sin(1.39810224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171804522814457-0.171836982789623)×R²
    abs(0.80975011-0.80955836)×3.24599751662935e-05×R²
    0.000191749999999935×3.24599751662935e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.24599751662935e-05×40589641000000     		ar = 44063.7667073947m²