Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20606 / 28802
↖ ↑ ↗
← N 70.493739°
W123.403931°		 ← 101.98 m → N 70.493739°
W123.401184°		 →
↑
101.94 m
↓
↑
101.94 m
↓
N 70.492822°
W123.403931°		 ← 101.99 m →
10 396 m²		 N 70.492822°
W123.401184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157215118408203 y=0.219745635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157215118408203 × 217)
    floor (0.157215118408203 × 131072)
    floor (20606.5)     		tx = 20606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219745635986328 × 217)
    floor (0.219745635986328 × 131072)
    floor (28802.5)     		ty = 28802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20606 / 28802 ti = "17/20606/28802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20606/28802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20606 ÷ 217
    20606 ÷ 131072     		x = 0.157211303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28802 ÷ 217
    28802 ÷ 131072     		y = 0.219741821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157211303710938 × 2 - 1) × π
    -0.685577392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15380490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219741821289062 × 2 - 1) × π
    0.560516357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76091407064314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15380490} λ = -2.15380490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76091407064314))-π/2
    2×atan(5.81775280174873)-π/2
    2×1.40057209069448-π/2
    2.80114418138896-1.57079632675     		φ = 1.23034785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15380490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.403931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23034785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.493739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20606 KachelY 28802 -2.15380490 1.23034785 -123.403931 70.493739
    Oben rechts KachelX + 1 20607 KachelY 28802 -2.15375696 1.23034785 -123.401184 70.493739
    Unten links KachelX 20606 KachelY + 1 28803 -2.15380490 1.23033185 -123.403931 70.492822
    Unten rechts KachelX + 1 20607 KachelY + 1 28803 -2.15375696 1.23033185 -123.401184 70.492822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23034785-1.23033185) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dl = 101.936000000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23034785-1.23033185) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dr = 101.936000000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15380490--2.15375696) × cos(1.23034785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333909862180043 × 6371000     		do = 101.984666749571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15380490--2.15375696) × cos(1.23033185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333924943817454 × 6371000     		du = 101.989273069837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23034785)-sin(1.23033185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333909862180043-0.333924943817454)×R²
    abs(-2.15375696--2.15380490)×1.50816374109852e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50816374109852e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50816374109852e-05×40589641000000     		ar = 10396.143764939m²