Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20605 / 3685
↖ ↑ ↗
← N 79.987622°
E 46.373291°		 ← 212.40 m → N 79.987622°
E 46.384277°		 →
↑
212.41 m
↓
↑
212.41 m
↓
N 79.985712°
E 46.373291°		 ← 212.44 m →
45 119 m²		 N 79.985712°
E 46.384277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628829956054688 y=0.112472534179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628829956054688 × 215)
    floor (0.628829956054688 × 32768)
    floor (20605.5)     		tx = 20605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112472534179688 × 215)
    floor (0.112472534179688 × 32768)
    floor (3685.5)     		ty = 3685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20605 / 3685 ti = "15/20605/3685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20605/3685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20605 ÷ 215
    20605 ÷ 32768     		x = 0.628814697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3685 ÷ 215
    3685 ÷ 32768     		y = 0.112457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628814697265625 × 2 - 1) × π
    0.25762939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80936661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112457275390625 × 2 - 1) × π
    0.77508544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43500275310037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80936661} λ = 0.80936661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43500275310037))-π/2
    2×atan(11.415850142305)-π/2
    2×1.48342184963926-π/2
    2.96684369927853-1.57079632675     		φ = 1.39604737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80936661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.373291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39604737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.987622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20605 KachelY 3685 0.80936661 1.39604737 46.373291 79.987622
    Oben rechts KachelX + 1 20606 KachelY 3685 0.80955836 1.39604737 46.384277 79.987622
    Unten links KachelX 20605 KachelY + 1 3686 0.80936661 1.39601403 46.373291 79.985712
    Unten rechts KachelX + 1 20606 KachelY + 1 3686 0.80955836 1.39601403 46.384277 79.985712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39604737-1.39601403) × R
    3.33400000001038e-05 × 6371000     		dl = 212.409140000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39604737-1.39601403) × R
    3.33400000001038e-05 × 6371000     		dr = 212.409140000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80936661-0.80955836) × cos(1.39604737) × R
    0.000191750000000046 × 0.173860923203334 × 6371000     		do = 212.395327826479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80936661-0.80955836) × cos(1.39601403) × R
    0.000191750000000046 × 0.173893755345719 × 6371000     		du = 212.435436860279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39604737)-sin(1.39601403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173860923203334-0.173893755345719)×R²
    abs(0.80955836-0.80936661)×3.28321423853917e-05×R²
    0.000191750000000046×3.28321423853917e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.28321423853917e-05×40589641000000     		ar = 45118.9686907062m²