Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20605 / 28799
↖ ↑ ↗
← N 70.496490°
W123.406677°		 ← 101.97 m → N 70.496490°
W123.403931°		 →
↑
101.94 m
↓
↑
101.94 m
↓
N 70.495574°
W123.406677°		 ← 101.98 m →
10 395 m²		 N 70.495574°
W123.403931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157207489013672 y=0.219722747802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157207489013672 × 217)
    floor (0.157207489013672 × 131072)
    floor (20605.5)     		tx = 20605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219722747802734 × 217)
    floor (0.219722747802734 × 131072)
    floor (28799.5)     		ty = 28799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20605 / 28799 ti = "17/20605/28799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20605/28799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20605 ÷ 217
    20605 ÷ 131072     		x = 0.157203674316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28799 ÷ 217
    28799 ÷ 131072     		y = 0.219718933105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157203674316406 × 2 - 1) × π
    -0.685592651367188 × 3.1415926535     		Λ = -2.15385284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219718933105469 × 2 - 1) × π
    0.560562133789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.761057881342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15385284} λ = -2.15385284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.761057881342))-π/2
    2×atan(5.8185895170078)-π/2
    2×1.4005960989722-π/2
    2.8011921979444-1.57079632675     		φ = 1.23039587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15385284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.406677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23039587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.496490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20605 KachelY 28799 -2.15385284 1.23039587 -123.406677 70.496490
    Oben rechts KachelX + 1 20606 KachelY 28799 -2.15380490 1.23039587 -123.403931 70.496490
    Unten links KachelX 20605 KachelY + 1 28800 -2.15385284 1.23037987 -123.406677 70.495574
    Unten rechts KachelX + 1 20606 KachelY + 1 28800 -2.15380490 1.23037987 -123.403931 70.495574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23039587-1.23037987) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dl = 101.936000000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23039587-1.23037987) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dr = 101.936000000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15385284--2.15380490) × cos(1.23039587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333864597902519 × 6371000     		do = 101.970841874113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15385284--2.15380490) × cos(1.23037987) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333879679796468 × 6371000     		du = 101.975448272733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23039587)-sin(1.23037987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333864597902519-0.333879679796468)×R²
    abs(-2.15380490--2.15385284)×1.50818939489983e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50818939489983e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50818939489983e-05×40589641000000     		ar = 10394.7345162945m²