Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20604 / 12372
↖ ↑ ↗
← N 81.057422°
W123.409424°		 ← 47.47 m → N 81.057422°
W123.406677°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
N 81.056995°
W123.409424°		 ← 47.47 m →
2 253 m²		 N 81.056995°
W123.406677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157199859619141 y=0.0943946838378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157199859619141 × 217)
    floor (0.157199859619141 × 131072)
    floor (20604.5)     		tx = 20604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0943946838378906 × 217)
    floor (0.0943946838378906 × 131072)
    floor (12372.5)     		ty = 12372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20604 / 12372 ti = "17/20604/12372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20604/12372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20604 ÷ 217
    20604 ÷ 131072     		x = 0.157196044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12372 ÷ 217
    12372 ÷ 131072     		y = 0.094390869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157196044921875 × 2 - 1) × π
    -0.68560791015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15390077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.094390869140625 × 2 - 1) × π
    0.81121826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54851733140067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15390077} λ = -2.15390077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54851733140067))-π/2
    2×atan(12.7881291620491)-π/2
    2×1.49275761221618-π/2
    2.98551522443236-1.57079632675     		φ = 1.41471890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15390077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.409424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41471890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.057422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20604 KachelY 12372 -2.15390077 1.41471890 -123.409424 81.057422
    Oben rechts KachelX + 1 20605 KachelY 12372 -2.15385284 1.41471890 -123.406677 81.057422
    Unten links KachelX 20604 KachelY + 1 12373 -2.15390077 1.41471145 -123.409424 81.056995
    Unten rechts KachelX + 1 20605 KachelY + 1 12373 -2.15385284 1.41471145 -123.406677 81.056995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41471890-1.41471145) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dl = 47.463950000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41471890-1.41471145) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dr = 47.463950000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15390077--2.15385284) × cos(1.41471890) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155444519576166 × 6371000     		do = 47.4668540501819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15390077--2.15385284) × cos(1.41471145) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155451879014302 × 6371000     		du = 47.4691013431506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41471890)-sin(1.41471145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155444519576166-0.155451879014302)×R²
    abs(-2.15385284--2.15390077)×7.35943813562345e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.35943813562345e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.35943813562345e-06×40589641000000     		ar = 2253.01771997855m²