Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20602 / 3658
↖ ↑ ↗
← N 80.039064°
E 46.340332°		 ← 211.32 m → N 80.039064°
E 46.351318°		 →
↑
211.33 m
↓
↑
211.33 m
↓
N 80.037163°
E 46.340332°		 ← 211.36 m →
44 661 m²		 N 80.037163°
E 46.351318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628738403320312 y=0.111648559570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628738403320312 × 215)
    floor (0.628738403320312 × 32768)
    floor (20602.5)     		tx = 20602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111648559570312 × 215)
    floor (0.111648559570312 × 32768)
    floor (3658.5)     		ty = 3658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20602 / 3658 ti = "15/20602/3658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20602/3658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20602 ÷ 215
    20602 ÷ 32768     		x = 0.62872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3658 ÷ 215
    3658 ÷ 32768     		y = 0.11163330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62872314453125 × 2 - 1) × π
    0.2574462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80879137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11163330078125 × 2 - 1) × π
    0.7767333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44017993825934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80879137} λ = 0.80879137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44017993825934))-π/2
    2×atan(11.4751053675223)-π/2
    2×1.48387075934902-π/2
    2.96774151869804-1.57079632675     		φ = 1.39694519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80879137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.340332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39694519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.039064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20602 KachelY 3658 0.80879137 1.39694519 46.340332 80.039064
    Oben rechts KachelX + 1 20603 KachelY 3658 0.80898312 1.39694519 46.351318 80.039064
    Unten links KachelX 20602 KachelY + 1 3659 0.80879137 1.39691202 46.340332 80.037163
    Unten rechts KachelX + 1 20603 KachelY + 1 3659 0.80898312 1.39691202 46.351318 80.037163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39694519-1.39691202) × R
    3.31700000000268e-05 × 6371000     		dl = 211.326070000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39694519-1.39691202) × R
    3.31700000000268e-05 × 6371000     		dr = 211.326070000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80879137-0.80898312) × cos(1.39694519) × R
    0.000191750000000046 × 0.172976706853336 × 6371000     		do = 211.315134427829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80879137-0.80898312) × cos(1.39691202) × R
    0.000191750000000046 × 0.173009376750786 × 6371000     		du = 211.355045256848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39694519)-sin(1.39691202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172976706853336-0.173009376750786)×R²
    abs(0.80898312-0.80879137)×3.26698974501549e-05×R²
    0.000191750000000046×3.26698974501549e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.26698974501549e-05×40589641000000     		ar = 44660.6139938379m²