Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20602 / 12374
↖ ↑ ↗
← N 81.056568°
W123.414917°		 ← 47.48 m → N 81.056568°
W123.412170°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
N 81.056141°
W123.414917°		 ← 47.48 m →
2 254 m²		 N 81.056141°
W123.412170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157184600830078 y=0.0944099426269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157184600830078 × 217)
    floor (0.157184600830078 × 131072)
    floor (20602.5)     		tx = 20602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0944099426269531 × 217)
    floor (0.0944099426269531 × 131072)
    floor (12374.5)     		ty = 12374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20602 / 12374 ti = "17/20602/12374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20602/12374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20602 ÷ 217
    20602 ÷ 131072     		x = 0.157180786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12374 ÷ 217
    12374 ÷ 131072     		y = 0.0944061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157180786132812 × 2 - 1) × π
    -0.685638427734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15399665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0944061279296875 × 2 - 1) × π
    0.811187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54842145760143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15399665} λ = -2.15399665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54842145760143))-π/2
    2×atan(12.7869031742922)-π/2
    2×1.49275016033487-π/2
    2.98550032066973-1.57079632675     		φ = 1.41470399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15399665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.414917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41470399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.056568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20602 KachelY 12374 -2.15399665 1.41470399 -123.414917 81.056568
    Oben rechts KachelX + 1 20603 KachelY 12374 -2.15394871 1.41470399 -123.412170 81.056568
    Unten links KachelX 20602 KachelY + 1 12375 -2.15399665 1.41469654 -123.414917 81.056141
    Unten rechts KachelX + 1 20603 KachelY + 1 12375 -2.15394871 1.41469654 -123.412170 81.056141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41470399-1.41469654) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dl = 47.463950000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41470399-1.41469654) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dr = 47.463950000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15399665--2.15394871) × cos(1.41470399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155459248322232 × 6371000     		do = 47.4812559586304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15399665--2.15394871) × cos(1.41469654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1554666077431 × 6371000     		du = 47.4835037151949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41470399)-sin(1.41469654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155459248322232-0.1554666077431)×R²
    abs(-2.15394871--2.15399665)×7.35942086768637e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.35942086768637e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.35942086768637e-06×40589641000000     		ar = 2253.7013024836m²