Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20601 / 4809
↖ ↑ ↗
← N 77.596488°
E 46.329346°		 ← 262.40 m → N 77.596488°
E 46.340332°		 →
↑
262.42 m
↓
↑
262.42 m
↓
N 77.594128°
E 46.329346°		 ← 262.45 m →
68 866 m²		 N 77.594128°
E 46.340332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628707885742188 y=0.146774291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628707885742188 × 215)
    floor (0.628707885742188 × 32768)
    floor (20601.5)     		tx = 20601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146774291992188 × 215)
    floor (0.146774291992188 × 32768)
    floor (4809.5)     		ty = 4809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20601 / 4809 ti = "15/20601/4809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20601/4809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20601 ÷ 215
    20601 ÷ 32768     		x = 0.628692626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4809 ÷ 215
    4809 ÷ 32768     		y = 0.146759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628692626953125 × 2 - 1) × π
    0.25738525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80859962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146759033203125 × 2 - 1) × π
    0.70648193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2194784524086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80859962} λ = 0.80859962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2194784524086))-π/2
    2×atan(9.20253005667999)-π/2
    2×1.4625552708388-π/2
    2.9251105416776-1.57079632675     		φ = 1.35431421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80859962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.329346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35431421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.596488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20601 KachelY 4809 0.80859962 1.35431421 46.329346 77.596488
    Oben rechts KachelX + 1 20602 KachelY 4809 0.80879137 1.35431421 46.340332 77.596488
    Unten links KachelX 20601 KachelY + 1 4810 0.80859962 1.35427302 46.329346 77.594128
    Unten rechts KachelX + 1 20602 KachelY + 1 4810 0.80879137 1.35427302 46.340332 77.594128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35431421-1.35427302) × R
    4.11900000001353e-05 × 6371000     		dl = 262.421490000862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35431421-1.35427302) × R
    4.11900000001353e-05 × 6371000     		dr = 262.421490000862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80859962-0.80879137) × cos(1.35431421) × R
    0.000191750000000046 × 0.214795186565801 × 6371000     		do = 262.402230619918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80859962-0.80879137) × cos(1.35427302) × R
    0.000191750000000046 × 0.214835414972544 × 6371000     		du = 262.45137522056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35431421)-sin(1.35427302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214795186565801-0.214835414972544)×R²
    abs(0.80879137-0.80859962)×4.02284067424208e-05×R²
    0.000191750000000046×4.02284067424208e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.02284067424208e-05×40589641000000     		ar = 68866.4326477479m²