Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2060 / 2386
↖ ↑ ↗
← S 28.459033°
E  1.054688°		 ← 8 592 m → S 28.459033°
E  1.142578°		 →
↑
8 588.87 m
↓
↑
8 588.87 m
↓
S 28.536275°
E  1.054688°		 ← 8 585.71 m →
73 768 608 m²		 S 28.536275°
E  1.142578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5030517578125 y=0.5826416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5030517578125 × 212)
    floor (0.5030517578125 × 4096)
    floor (2060.5)     		tx = 2060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5826416015625 × 212)
    floor (0.5826416015625 × 4096)
    floor (2386.5)     		ty = 2386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2060 / 2386 ti = "12/2060/2386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2060/2386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2060 ÷ 212
    2060 ÷ 4096     		x = 0.5029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2386 ÷ 212
    2386 ÷ 4096     		y = 0.58251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5029296875 × 2 - 1) × π
    0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58251953125 × 2 - 1) × π
    -0.1650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.518485506290527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01840777} λ = 0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.518485506290527))-π/2
    2×atan(0.595421627767857)-π/2
    2×0.537046249339943-π/2
    1.07409249867989-1.57079632675     		φ = -0.49670383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49670383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.459033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2060 KachelY 2386 0.01840777 -0.49670383 1.054688 -28.459033
    Oben rechts KachelX + 1 2061 KachelY 2386 0.01994175 -0.49670383 1.142578 -28.459033
    Unten links KachelX 2060 KachelY + 1 2387 0.01840777 -0.49805195 1.054688 -28.536275
    Unten rechts KachelX + 1 2061 KachelY + 1 2387 0.01994175 -0.49805195 1.142578 -28.536275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49670383--0.49805195) × R
    0.00134812000000001 × 6371000     		dl = 8588.87252000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49670383--0.49805195) × R
    0.00134812000000001 × 6371000     		dr = 8588.87252000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01840777-0.01994175) × cos(-0.49670383) × R
    0.00153398 × 0.879158059759019 × 6371000     		do = 8591.99991972373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01840777-0.01994175) × cos(-0.49805195) × R
    0.00153398 × 0.878514841052166 × 6371000     		du = 8585.71375193366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49670383)-sin(-0.49805195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879158059759019-0.878514841052166)×R²
    abs(0.01994175-0.01840777)×0.000643218706852466×R²
    0.00153398×0.000643218706852466×6371000²
    0.00153398×0.000643218706852466×40589641000000     		ar = 73768607.6278887m²