Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 206 / 51
↖ ↑ ↗
← N 80.760615°
W 35.156250°		 ← 12.553 km → N 80.760615°
W 34.453125°		 →
↑
12.629 km
↓
↑
12.629 km
↓
N 80.647035°
W 35.156250°		 ← 12.706 km →
159.506 km²		 N 80.647035°
W 34.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4033203125 y=0.1005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4033203125 × 29)
    floor (0.4033203125 × 512)
    floor (206.5)     		tx = 206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1005859375 × 29)
    floor (0.1005859375 × 512)
    floor (51.5)     		ty = 51
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 206 / 51 ti = "9/206/51"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/206/51.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 206 ÷ 29
    206 ÷ 512     		x = 0.40234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51 ÷ 29
    51 ÷ 512     		y = 0.099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40234375 × 2 - 1) × π
    -0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099609375 × 2 - 1) × π
    0.80078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51572849206055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61359232} λ = -0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51572849206055))-π/2
    2×atan(12.3756210377045)-π/2
    2×1.49016747968211-π/2
    2.98033495936421-1.57079632675     		φ = 1.40953863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40953863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.760615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 206 KachelY 51 -0.61359232 1.40953863 -35.156250 80.760615
    Oben rechts KachelX + 1 207 KachelY 51 -0.60132047 1.40953863 -34.453125 80.760615
    Unten links KachelX 206 KachelY + 1 52 -0.61359232 1.40755629 -35.156250 80.647035
    Unten rechts KachelX + 1 207 KachelY + 1 52 -0.60132047 1.40755629 -34.453125 80.647035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40953863-1.40755629) × R
    0.00198233999999986 × 6371000     		dl = 12629.4881399991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40953863-1.40755629) × R
    0.00198233999999986 × 6371000     		dr = 12629.4881399991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61359232--0.60132047) × cos(1.40953863) × R
    0.01227185 × 0.160559712872195 × 6371000     		do = 12553.1935827682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61359232--0.60132047) × cos(1.40755629) × R
    0.01227185 × 0.162516017493157 × 6371000     		du = 12706.1452178608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40953863)-sin(1.40755629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160559712872195-0.162516017493157)×R²
    abs(-0.60132047--0.61359232)×0.00195630462096189×R²
    0.01227185×0.00195630462096189×6371000²
    0.01227185×0.00195630462096189×40589641000000     		ar = 159506312.137314m²