Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 206 / 103
↖ ↑ ↗
← N 33.137551°
E109.687500°		 ← 130.936 km → N 33.137551°
E111.093750°		 →
↑
131.809 km
↓
↑
131.809 km
↓
N 31.952162°
E109.687500°		 ← 132.677 km →
17 373.9 km²		 N 31.952162°
E111.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806640625 y=0.404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806640625 × 28)
    floor (0.806640625 × 256)
    floor (206.5)     		tx = 206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404296875 × 28)
    floor (0.404296875 × 256)
    floor (103.5)     		ty = 103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 206 / 103 ti = "8/206/103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/206/103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 206 ÷ 28
    206 ÷ 256     		x = 0.8046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103 ÷ 28
    103 ÷ 256     		y = 0.40234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8046875 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91440802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40234375 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91440802} λ = 1.91440802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613592315136719))-π/2
    2×atan(1.84705469771943)-π/2
    2×1.07457785056741-π/2
    2.14915570113482-1.57079632675     		φ = 0.57835937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91440802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57835937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.137551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 206 KachelY 103 1.91440802 0.57835937 109.687500 33.137551
    Oben rechts KachelX + 1 207 KachelY 103 1.93895172 0.57835937 111.093750 33.137551
    Unten links KachelX 206 KachelY + 1 104 1.91440802 0.55767043 109.687500 31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 207 KachelY + 1 104 1.93895172 0.55767043 111.093750 31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57835937-0.55767043) × R
    0.02068894 × 6371000     		dl = 131809.23674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57835937-0.55767043) × R
    0.02068894 × 6371000     		dr = 131809.23674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91440802-1.93895172) × cos(0.57835937) × R
    0.0245436999999999 × 0.837360628284139 × 6371000     		do = 130936.333621951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91440802-1.93895172) × cos(0.55767043) × R
    0.0245436999999999 × 0.848490246343458 × 6371000     		du = 132676.648767035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57835937)-sin(0.55767043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837360628284139-0.848490246343458)×R²
    abs(1.93895172-1.91440802)×0.0111296180593189×R²
    0.0245436999999999×0.0111296180593189×6371000²
    0.0245436999999999×0.0111296180593189×40589641000000     		ar = 17373932723.0873m²