Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 206 / 101
↖ ↑ ↗
← N 35.460670°
E109.687500°		 ← 127.364 km → N 35.460670°
E111.093750°		 →
↑
128.266 km
↓
↑
128.266 km
↓
N 34.307144°
E109.687500°		 ← 129.164 km →
16 452.5 km²		 N 34.307144°
E111.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806640625 y=0.396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806640625 × 28)
    floor (0.806640625 × 256)
    floor (206.5)     		tx = 206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.396484375 × 28)
    floor (0.396484375 × 256)
    floor (101.5)     		ty = 101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 206 / 101 ti = "8/206/101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/206/101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 206 ÷ 28
    206 ÷ 256     		x = 0.8046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101 ÷ 28
    101 ÷ 256     		y = 0.39453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8046875 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91440802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39453125 × 2 - 1) × π
    0.2109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.662679700347656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91440802} λ = 1.91440802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.662679700347656))-π/2
    2×atan(1.93998395097488)-π/2
    2×1.09485088619804-π/2
    2.18970177239608-1.57079632675     		φ = 0.61890545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91440802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.61890545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 35.460670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 206 KachelY 101 1.91440802 0.61890545 109.687500 35.460670
    Oben rechts KachelX + 1 207 KachelY 101 1.93895172 0.61890545 111.093750 35.460670
    Unten links KachelX 206 KachelY + 1 102 1.91440802 0.59877262 109.687500 34.307144
    Unten rechts KachelX + 1 207 KachelY + 1 102 1.93895172 0.59877262 111.093750 34.307144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.61890545-0.59877262) × R
    0.02013283 × 6371000     		dl = 128266.25993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.61890545-0.59877262) × R
    0.02013283 × 6371000     		dr = 128266.25993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91440802-1.93895172) × cos(0.61890545) × R
    0.0245436999999999 × 0.81451394104121 × 6371000     		do = 127363.844825665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91440802-1.93895172) × cos(0.59877262) × R
    0.0245436999999999 × 0.826028023946516 × 6371000     		du = 129164.277936222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.61890545)-sin(0.59877262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.81451394104121-0.826028023946516)×R²
    abs(1.93895172-1.91440802)×0.0115140829053058×R²
    0.0245436999999999×0.0115140829053058×6371000²
    0.0245436999999999×0.0115140829053058×40589641000000     		ar = 16452507166.2376m²