Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20599 / 4966
↖ ↑ ↗
← N 77.220501°
E 46.307373°		 ← 270.23 m → N 77.220501°
E 46.318360°		 →
↑
270.26 m
↓
↑
270.26 m
↓
N 77.218070°
E 46.307373°		 ← 270.28 m →
73 038 m²		 N 77.218070°
E 46.318360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628646850585938 y=0.151565551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628646850585938 × 215)
    floor (0.628646850585938 × 32768)
    floor (20599.5)     		tx = 20599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151565551757812 × 215)
    floor (0.151565551757812 × 32768)
    floor (4966.5)     		ty = 4966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20599 / 4966 ti = "15/20599/4966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20599/4966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20599 ÷ 215
    20599 ÷ 32768     		x = 0.628631591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4966 ÷ 215
    4966 ÷ 32768     		y = 0.15155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628631591796875 × 2 - 1) × π
    0.25726318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80821613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15155029296875 × 2 - 1) × π
    0.6968994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1893740794472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80821613} λ = 0.80821613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1893740794472))-π/2
    2×atan(8.92962213110496)-π/2
    2×1.45927415793911-π/2
    2.91854831587821-1.57079632675     		φ = 1.34775199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80821613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.307373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34775199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.220501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20599 KachelY 4966 0.80821613 1.34775199 46.307373 77.220501
    Oben rechts KachelX + 1 20600 KachelY 4966 0.80840788 1.34775199 46.318360 77.220501
    Unten links KachelX 20599 KachelY + 1 4967 0.80821613 1.34770957 46.307373 77.218070
    Unten rechts KachelX + 1 20600 KachelY + 1 4967 0.80840788 1.34770957 46.318360 77.218070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34775199-1.34770957) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dl = 270.25781999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34775199-1.34770957) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dr = 270.25781999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80821613-0.80840788) × cos(1.34775199) × R
    0.000191749999999935 × 0.221199567730956 × 6371000     		do = 270.226074023078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80821613-0.80840788) × cos(1.34770957) × R
    0.000191749999999935 × 0.221240936727591 × 6371000     		du = 270.276612013101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34775199)-sin(1.34770957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221199567730956-0.221240936727591)×R²
    abs(0.80840788-0.80821613)×4.13689966354269e-05×R²
    0.000191749999999935×4.13689966354269e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.13689966354269e-05×40589641000000     		ar = 73037.5388267029m²