Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20599 / 4808
↖ ↑ ↗
← N 77.598848°
E 46.307373°		 ← 262.35 m → N 77.598848°
E 46.318360°		 →
↑
262.42 m
↓
↑
262.42 m
↓
N 77.596488°
E 46.307373°		 ← 262.40 m →
68 854 m²		 N 77.596488°
E 46.318360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628646850585938 y=0.146743774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628646850585938 × 215)
    floor (0.628646850585938 × 32768)
    floor (20599.5)     		tx = 20599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146743774414062 × 215)
    floor (0.146743774414062 × 32768)
    floor (4808.5)     		ty = 4808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20599 / 4808 ti = "15/20599/4808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20599/4808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20599 ÷ 215
    20599 ÷ 32768     		x = 0.628631591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4808 ÷ 215
    4808 ÷ 32768     		y = 0.146728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628631591796875 × 2 - 1) × π
    0.25726318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80821613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146728515625 × 2 - 1) × π
    0.70654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21967020000708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80821613} λ = 0.80821613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21967020000708))-π/2
    2×atan(9.20429478890447)-π/2
    2×1.46257586214078-π/2
    2.92515172428157-1.57079632675     		φ = 1.35435540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80821613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.307373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35435540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.598848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20599 KachelY 4808 0.80821613 1.35435540 46.307373 77.598848
    Oben rechts KachelX + 1 20600 KachelY 4808 0.80840788 1.35435540 46.318360 77.598848
    Unten links KachelX 20599 KachelY + 1 4809 0.80821613 1.35431421 46.307373 77.596488
    Unten rechts KachelX + 1 20600 KachelY + 1 4809 0.80840788 1.35431421 46.318360 77.596488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35435540-1.35431421) × R
    4.11899999999132e-05 × 6371000     		dl = 262.421489999447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35435540-1.35431421) × R
    4.11899999999132e-05 × 6371000     		dr = 262.421489999447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80821613-0.80840788) × cos(1.35435540) × R
    0.000191749999999935 × 0.214754957794634 × 6371000     		do = 262.353085573929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80821613-0.80840788) × cos(1.35431421) × R
    0.000191749999999935 × 0.214795186565801 × 6371000     		du = 262.402230619766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35435540)-sin(1.35431421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214754957794634-0.214795186565801)×R²
    abs(0.80840788-0.80821613)×4.02287711671889e-05×R²
    0.000191749999999935×4.02287711671889e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.02287711671889e-05×40589641000000     		ar = 68853.5359903901m²