Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20598 / 4810
↖ ↑ ↗
← N 77.594128°
E 46.296387°		 ← 262.45 m → N 77.594128°
E 46.307373°		 →
↑
262.42 m
↓
↑
262.42 m
↓
N 77.591768°
E 46.296387°		 ← 262.50 m →
68 879 m²		 N 77.591768°
E 46.307373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628616333007812 y=0.146804809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628616333007812 × 215)
    floor (0.628616333007812 × 32768)
    floor (20598.5)     		tx = 20598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146804809570312 × 215)
    floor (0.146804809570312 × 32768)
    floor (4810.5)     		ty = 4810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20598 / 4810 ti = "15/20598/4810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20598/4810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20598 ÷ 215
    20598 ÷ 32768     		x = 0.62860107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4810 ÷ 215
    4810 ÷ 32768     		y = 0.14678955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62860107421875 × 2 - 1) × π
    0.2572021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80802438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14678955078125 × 2 - 1) × π
    0.7064208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21928670481012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80802438} λ = 0.80802438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21928670481012))-π/2
    2×atan(9.20076566280622)-π/2
    2×1.46253467568028-π/2
    2.92506935136056-1.57079632675     		φ = 1.35427302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80802438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.296387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35427302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.594128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20598 KachelY 4810 0.80802438 1.35427302 46.296387 77.594128
    Oben rechts KachelX + 1 20599 KachelY 4810 0.80821613 1.35427302 46.307373 77.594128
    Unten links KachelX 20598 KachelY + 1 4811 0.80802438 1.35423183 46.296387 77.591768
    Unten rechts KachelX + 1 20599 KachelY + 1 4811 0.80821613 1.35423183 46.307373 77.591768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35427302-1.35423183) × R
    4.11899999999132e-05 × 6371000     		dl = 262.421489999447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35427302-1.35423183) × R
    4.11899999999132e-05 × 6371000     		dr = 262.421489999447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80802438-0.80821613) × cos(1.35427302) × R
    0.000191750000000046 × 0.214835414972544 × 6371000     		do = 262.45137522056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80802438-0.80821613) × cos(1.35423183) × R
    0.000191750000000046 × 0.214875643014793 × 6371000     		du = 262.500519375922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35427302)-sin(1.35423183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214835414972544-0.214875643014793)×R²
    abs(0.80821613-0.80802438)×4.02280422489854e-05×R²
    0.000191750000000046×4.02280422489854e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.02280422489854e-05×40589641000000     		ar = 68879.3291892774m²