Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20597 / 3983
↖ ↑ ↗
← N 79.402105°
E 46.285400°		 ← 224.68 m → N 79.402105°
E 46.296387°		 →
↑
224.71 m
↓
↑
224.71 m
↓
N 79.400084°
E 46.285400°		 ← 224.72 m →
50 491 m²		 N 79.400084°
E 46.296387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628585815429688 y=0.121566772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628585815429688 × 215)
    floor (0.628585815429688 × 32768)
    floor (20597.5)     		tx = 20597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121566772460938 × 215)
    floor (0.121566772460938 × 32768)
    floor (3983.5)     		ty = 3983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20597 / 3983 ti = "15/20597/3983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20597/3983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20597 ÷ 215
    20597 ÷ 32768     		x = 0.628570556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3983 ÷ 215
    3983 ÷ 32768     		y = 0.121551513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628570556640625 × 2 - 1) × π
    0.25714111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80783263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121551513671875 × 2 - 1) × π
    0.75689697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37786196875327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80783263} λ = 0.80783263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37786196875327))-π/2
    2×atan(10.7818263219647)-π/2
    2×1.47831224835092-π/2
    2.95662449670184-1.57079632675     		φ = 1.38582817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80783263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.285400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38582817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.402105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20597 KachelY 3983 0.80783263 1.38582817 46.285400 79.402105
    Oben rechts KachelX + 1 20598 KachelY 3983 0.80802438 1.38582817 46.296387 79.402105
    Unten links KachelX 20597 KachelY + 1 3984 0.80783263 1.38579290 46.285400 79.400084
    Unten rechts KachelX + 1 20598 KachelY + 1 3984 0.80802438 1.38579290 46.296387 79.400084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38582817-1.38579290) × R
    3.52699999999206e-05 × 6371000     		dl = 224.705169999494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38582817-1.38579290) × R
    3.52699999999206e-05 × 6371000     		dr = 224.705169999494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80783263-0.80802438) × cos(1.38582817) × R
    0.000191749999999935 × 0.183915233594154 × 6371000     		do = 224.678068031461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80783263-0.80802438) × cos(1.38579290) × R
    0.000191749999999935 × 0.183949901847889 × 6371000     		du = 224.720420130952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38582817)-sin(1.38579290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183915233594154-0.183949901847889)×R²
    abs(0.80802438-0.80783263)×3.46682537342713e-05×R²
    0.000191749999999935×3.46682537342713e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.46682537342713e-05×40589641000000     		ar = 50491.0818453744m²