Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20596 / 4812
↖ ↑ ↗
← N 77.589407°
E 46.274414°		 ← 262.55 m → N 77.589407°
E 46.285400°		 →
↑
262.55 m
↓
↑
262.55 m
↓
N 77.587046°
E 46.274414°		 ← 262.60 m →
68 939 m²		 N 77.587046°
E 46.285400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628555297851562 y=0.146865844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628555297851562 × 215)
    floor (0.628555297851562 × 32768)
    floor (20596.5)     		tx = 20596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146865844726562 × 215)
    floor (0.146865844726562 × 32768)
    floor (4812.5)     		ty = 4812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20596 / 4812 ti = "15/20596/4812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20596/4812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20596 ÷ 215
    20596 ÷ 32768     		x = 0.6285400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4812 ÷ 215
    4812 ÷ 32768     		y = 0.1468505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6285400390625 × 2 - 1) × π
    0.257080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80764088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1468505859375 × 2 - 1) × π
    0.706298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21890320961316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80764088} λ = 0.80764088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21890320961316))-π/2
    2×atan(9.19723788985141)-π/2
    2×1.46249347379088-π/2
    2.92498694758177-1.57079632675     		φ = 1.35419062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80764088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.274414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35419062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.589407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20596 KachelY 4812 0.80764088 1.35419062 46.274414 77.589407
    Oben rechts KachelX + 1 20597 KachelY 4812 0.80783263 1.35419062 46.285400 77.589407
    Unten links KachelX 20596 KachelY + 1 4813 0.80764088 1.35414941 46.274414 77.587046
    Unten rechts KachelX + 1 20597 KachelY + 1 4813 0.80783263 1.35414941 46.285400 77.587046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35419062-1.35414941) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dl = 262.548910000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35419062-1.35414941) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dr = 262.548910000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80764088-0.80783263) × cos(1.35419062) × R
    0.000191750000000046 × 0.214915890225131 × 6371000     		do = 262.549686947775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80764088-0.80783263) × cos(1.35414941) × R
    0.000191750000000046 × 0.214956137070486 × 6371000     		du = 262.598854073749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35419062)-sin(1.35414941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214915890225131-0.214956137070486)×R²
    abs(0.80783263-0.80764088)×4.02468453549465e-05×R²
    0.000191750000000046×4.02468453549465e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.02468453549465e-05×40589641000000     		ar = 68938.5885259988m²