Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20589 / 12381
↖ ↑ ↗
← N 81.053579°
W123.450623°		 ← 47.50 m → N 81.053579°
W123.447876°		 →
↑
47.53 m
↓
↑
47.53 m
↓
N 81.053151°
W123.450623°		 ← 47.50 m →
2 257 m²		 N 81.053151°
W123.447876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157085418701172 y=0.0944633483886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157085418701172 × 217)
    floor (0.157085418701172 × 131072)
    floor (20589.5)     		tx = 20589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0944633483886719 × 217)
    floor (0.0944633483886719 × 131072)
    floor (12381.5)     		ty = 12381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20589 / 12381 ti = "17/20589/12381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20589/12381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20589 ÷ 217
    20589 ÷ 131072     		x = 0.157081604003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12381 ÷ 217
    12381 ÷ 131072     		y = 0.0944595336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157081604003906 × 2 - 1) × π
    -0.685836791992188 × 3.1415926535     		Λ = -2.15461983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0944595336914062 × 2 - 1) × π
    0.811080932617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.54808589930408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15461983} λ = -2.15461983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54808589930408))-π/2
    2×atan(12.7826131426529)-π/2
    2×1.49272407319176-π/2
    2.98544814638351-1.57079632675     		φ = 1.41465182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15461983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.450623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41465182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.053579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20589 KachelY 12381 -2.15461983 1.41465182 -123.450623 81.053579
    Oben rechts KachelX + 1 20590 KachelY 12381 -2.15457189 1.41465182 -123.447876 81.053579
    Unten links KachelX 20589 KachelY + 1 12382 -2.15461983 1.41464436 -123.450623 81.053151
    Unten rechts KachelX + 1 20590 KachelY + 1 12382 -2.15457189 1.41464436 -123.447876 81.053151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41465182-1.41464436) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dl = 47.5276599997398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41465182-1.41464436) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dr = 47.5276599997398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15461983--2.15457189) × cos(1.41465182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155510783843771 × 6371000     		do = 47.4969962334327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15461983--2.15457189) × cos(1.41464436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155518153082536 × 6371000     		du = 47.4992469886356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41465182)-sin(1.41464436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155510783843771-0.155518153082536)×R²
    abs(-2.15457189--2.15461983)×7.36923876473727e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.36923876473727e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.36923876473727e-06×40589641000000     		ar = 2257.474574537m²