Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20581 / 4834
↖ ↑ ↗
← N 77.537355°
E 46.109619°		 ← 263.63 m → N 77.537355°
E 46.120606°		 →
↑
263.63 m
↓
↑
263.63 m
↓
N 77.534984°
E 46.109619°		 ← 263.68 m →
69 509 m²		 N 77.534984°
E 46.120606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628097534179688 y=0.147537231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628097534179688 × 215)
    floor (0.628097534179688 × 32768)
    floor (20581.5)     		tx = 20581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147537231445312 × 215)
    floor (0.147537231445312 × 32768)
    floor (4834.5)     		ty = 4834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20581 / 4834 ti = "15/20581/4834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20581/4834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20581 ÷ 215
    20581 ÷ 32768     		x = 0.628082275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4834 ÷ 215
    4834 ÷ 32768     		y = 0.14752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628082275390625 × 2 - 1) × π
    0.25616455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80476467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14752197265625 × 2 - 1) × π
    0.7049560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21468476244659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80476467} λ = 0.80476467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21468476244659))-π/2
    2×atan(9.15852154657309)-π/2
    2×1.46203923312631-π/2
    2.92407846625263-1.57079632675     		φ = 1.35328214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80476467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.109619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35328214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.537355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20581 KachelY 4834 0.80476467 1.35328214 46.109619 77.537355
    Oben rechts KachelX + 1 20582 KachelY 4834 0.80495642 1.35328214 46.120606 77.537355
    Unten links KachelX 20581 KachelY + 1 4835 0.80476467 1.35324076 46.109619 77.534984
    Unten rechts KachelX + 1 20582 KachelY + 1 4835 0.80495642 1.35324076 46.120606 77.534984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35328214-1.35324076) × R
    4.13799999998687e-05 × 6371000     		dl = 263.631979999164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35328214-1.35324076) × R
    4.13799999998687e-05 × 6371000     		dr = 263.631979999164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80476467-0.80495642) × cos(1.35328214) × R
    0.000191750000000046 × 0.215803052563637 × 6371000     		do = 263.633479281615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80476467-0.80495642) × cos(1.35324076) × R
    0.000191750000000046 × 0.21584345733827 × 6371000     		du = 263.682839340195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35328214)-sin(1.35324076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215803052563637-0.21584345733827)×R²
    abs(0.80495642-0.80476467)×4.04047746336844e-05×R²
    0.000191750000000046×4.04047746336844e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.04047746336844e-05×40589641000000     		ar = 69508.7225923239m²