Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20581 / 4815
↖ ↑ ↗
← N 77.582322°
E 46.109619°		 ← 262.70 m → N 77.582322°
E 46.120606°		 →
↑
262.74 m
↓
↑
262.74 m
↓
N 77.579959°
E 46.109619°		 ← 262.75 m →
69 028 m²		 N 77.579959°
E 46.120606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628097534179688 y=0.146957397460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628097534179688 × 215)
    floor (0.628097534179688 × 32768)
    floor (20581.5)     		tx = 20581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146957397460938 × 215)
    floor (0.146957397460938 × 32768)
    floor (4815.5)     		ty = 4815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20581 / 4815 ti = "15/20581/4815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20581/4815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20581 ÷ 215
    20581 ÷ 32768     		x = 0.628082275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4815 ÷ 215
    4815 ÷ 32768     		y = 0.146942138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628082275390625 × 2 - 1) × π
    0.25616455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80476467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146942138671875 × 2 - 1) × π
    0.70611572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21832796681772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80476467} λ = 0.80476467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21832796681772))-π/2
    2×atan(9.19194876642824)-π/2
    2×1.46243164201558-π/2
    2.92486328403115-1.57079632675     		φ = 1.35406696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80476467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.109619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35406696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.582322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20581 KachelY 4815 0.80476467 1.35406696 46.109619 77.582322
    Oben rechts KachelX + 1 20582 KachelY 4815 0.80495642 1.35406696 46.120606 77.582322
    Unten links KachelX 20581 KachelY + 1 4816 0.80476467 1.35402572 46.109619 77.579959
    Unten rechts KachelX + 1 20582 KachelY + 1 4816 0.80495642 1.35402572 46.120606 77.579959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35406696-1.35402572) × R
    4.12399999998314e-05 × 6371000     		dl = 262.740039998926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35406696-1.35402572) × R
    4.12399999998314e-05 × 6371000     		dr = 262.740039998926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80476467-0.80495642) × cos(1.35406696) × R
    0.000191750000000046 × 0.215036658964151 × 6371000     		do = 262.697222779534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80476467-0.80495642) × cos(1.35402572) × R
    0.000191750000000046 × 0.215076934011791 × 6371000     		du = 262.746424358527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35406696)-sin(1.35402572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215036658964151-0.215076934011791)×R²
    abs(0.80495642-0.80476467)×4.02750476403424e-05×R²
    0.000191750000000046×4.02750476403424e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.02750476403424e-05×40589641000000     		ar = 69027.542443524m²