Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20580 / 4811
↖ ↑ ↗
← N 77.591768°
E 46.098633°		 ← 262.50 m → N 77.591768°
E 46.109619°		 →
↑
262.55 m
↓
↑
262.55 m
↓
N 77.589407°
E 46.098633°		 ← 262.55 m →
68 926 m²		 N 77.589407°
E 46.109619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628067016601562 y=0.146835327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628067016601562 × 215)
    floor (0.628067016601562 × 32768)
    floor (20580.5)     		tx = 20580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146835327148438 × 215)
    floor (0.146835327148438 × 32768)
    floor (4811.5)     		ty = 4811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20580 / 4811 ti = "15/20580/4811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20580/4811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20580 ÷ 215
    20580 ÷ 32768     		x = 0.6280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4811 ÷ 215
    4811 ÷ 32768     		y = 0.146820068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6280517578125 × 2 - 1) × π
    0.256103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.80457292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146820068359375 × 2 - 1) × π
    0.70635986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.21909495721164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80457292} λ = 0.80457292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21909495721164))-π/2
    2×atan(9.19900160721832)-π/2
    2×1.46251407666454-π/2
    2.92502815332907-1.57079632675     		φ = 1.35423183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80457292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.098633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35423183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.591768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20580 KachelY 4811 0.80457292 1.35423183 46.098633 77.591768
    Oben rechts KachelX + 1 20581 KachelY 4811 0.80476467 1.35423183 46.109619 77.591768
    Unten links KachelX 20580 KachelY + 1 4812 0.80457292 1.35419062 46.098633 77.589407
    Unten rechts KachelX + 1 20581 KachelY + 1 4812 0.80476467 1.35419062 46.109619 77.589407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35423183-1.35419062) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dl = 262.548910000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35423183-1.35419062) × R
    4.12100000000137e-05 × 6371000     		dr = 262.548910000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80457292-0.80476467) × cos(1.35423183) × R
    0.000191749999999935 × 0.214875643014793 × 6371000     		do = 262.50051937577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80457292-0.80476467) × cos(1.35419062) × R
    0.000191749999999935 × 0.214915890225131 × 6371000     		du = 262.549686947623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35423183)-sin(1.35419062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214875643014793-0.214915890225131)×R²
    abs(0.80476467-0.80457292)×4.02472103388785e-05×R²
    0.000191749999999935×4.02472103388785e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.02472103388785e-05×40589641000000     		ar = 68925.6796926973m²