Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20576 / 28640
↖ ↑ ↗
← N 70.641769°
W123.486328°		 ← 101.24 m → N 70.641769°
W123.483582°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
N 70.640858°
W123.486328°		 ← 101.25 m →
10 249 m²		 N 70.640858°
W123.483582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156986236572266 y=0.218509674072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156986236572266 × 217)
    floor (0.156986236572266 × 131072)
    floor (20576.5)     		tx = 20576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218509674072266 × 217)
    floor (0.218509674072266 × 131072)
    floor (28640.5)     		ty = 28640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20576 / 28640 ti = "17/20576/28640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20576/28640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20576 ÷ 217
    20576 ÷ 131072     		x = 0.156982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28640 ÷ 217
    28640 ÷ 131072     		y = 0.218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156982421875 × 2 - 1) × π
    -0.68603515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15524301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218505859375 × 2 - 1) × π
    0.56298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76867984838159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15524301} λ = -2.15524301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76867984838159))-π/2
    2×atan(5.86310805842813)-π/2
    2×1.40186389032552-π/2
    2.80372778065105-1.57079632675     		φ = 1.23293145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15524301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.486328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23293145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.641769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20576 KachelY 28640 -2.15524301 1.23293145 -123.486328 70.641769
    Oben rechts KachelX + 1 20577 KachelY 28640 -2.15519507 1.23293145 -123.483582 70.641769
    Unten links KachelX 20576 KachelY + 1 28641 -2.15524301 1.23291556 -123.486328 70.640858
    Unten rechts KachelX + 1 20577 KachelY + 1 28641 -2.15519507 1.23291556 -123.483582 70.640858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23293145-1.23291556) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dl = 101.235190000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23293145-1.23291556) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dr = 101.235190000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15524301--2.15519507) × cos(1.23293145) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331473436165073 × 6371000     		do = 101.240519530994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15524301--2.15519507) × cos(1.23291556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331488427774958 × 6371000     		du = 101.245098354537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23293145)-sin(1.23291556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331473436165073-0.331488427774958)×R²
    abs(-2.15519507--2.15524301)×1.49916098854397e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49916098854397e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49916098854397e-05×40589641000000     		ar = 10249.3349996609m²