Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20575 / 4837
↖ ↑ ↗
← N 77.530241°
E 46.043701°		 ← 263.77 m → N 77.530241°
E 46.054687°		 →
↑
263.82 m
↓
↑
263.82 m
↓
N 77.527868°
E 46.043701°		 ← 263.82 m →
69 595 m²		 N 77.527868°
E 46.054687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627914428710938 y=0.147628784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627914428710938 × 215)
    floor (0.627914428710938 × 32768)
    floor (20575.5)     		tx = 20575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147628784179688 × 215)
    floor (0.147628784179688 × 32768)
    floor (4837.5)     		ty = 4837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20575 / 4837 ti = "15/20575/4837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20575/4837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20575 ÷ 215
    20575 ÷ 32768     		x = 0.627899169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4837 ÷ 215
    4837 ÷ 32768     		y = 0.147613525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627899169921875 × 2 - 1) × π
    0.25579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80361419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147613525390625 × 2 - 1) × π
    0.70477294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21410951965115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80361419} λ = 0.80361419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21410951965115))-π/2
    2×atan(9.15325468804299)-π/2
    2×1.46197714611557-π/2
    2.92395429223114-1.57079632675     		φ = 1.35315797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80361419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.043701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35315797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.530241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20575 KachelY 4837 0.80361419 1.35315797 46.043701 77.530241
    Oben rechts KachelX + 1 20576 KachelY 4837 0.80380593 1.35315797 46.054687 77.530241
    Unten links KachelX 20575 KachelY + 1 4838 0.80361419 1.35311656 46.043701 77.527868
    Unten rechts KachelX + 1 20576 KachelY + 1 4838 0.80380593 1.35311656 46.054687 77.527868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35315797-1.35311656) × R
    4.14100000001305e-05 × 6371000     		dl = 263.823110000831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35315797-1.35311656) × R
    4.14100000001305e-05 × 6371000     		dr = 263.823110000831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80361419-0.80380593) × cos(1.35315797) × R
    0.000191739999999996 × 0.215924295071003 × 6371000     		do = 263.767837350474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80361419-0.80380593) × cos(1.35311656) × R
    0.000191739999999996 × 0.215964728028427 × 6371000     		du = 263.817229262273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35315797)-sin(1.35311656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215924295071003-0.215964728028427)×R²
    abs(0.80380593-0.80361419)×4.04329574242579e-05×R²
    0.000191739999999996×4.04329574242579e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.04329574242579e-05×40589641000000     		ar = 69594.5665418883m²