Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20575 / 28641
↖ ↑ ↗
← N 70.640858°
W123.489074°		 ← 101.22 m → N 70.640858°
W123.486328°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
N 70.639948°
W123.489074°		 ← 101.23 m →
10 248 m²		 N 70.639948°
W123.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156978607177734 y=0.218517303466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156978607177734 × 217)
    floor (0.156978607177734 × 131072)
    floor (20575.5)     		tx = 20575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218517303466797 × 217)
    floor (0.218517303466797 × 131072)
    floor (28641.5)     		ty = 28641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20575 / 28641 ti = "17/20575/28641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20575/28641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20575 ÷ 217
    20575 ÷ 131072     		x = 0.156974792480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28641 ÷ 217
    28641 ÷ 131072     		y = 0.218513488769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156974792480469 × 2 - 1) × π
    -0.686050415039062 × 3.1415926535     		Λ = -2.15529094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218513488769531 × 2 - 1) × π
    0.562973022460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.76863191148197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15529094} λ = -2.15529094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76863191148197))-π/2
    2×atan(5.86282700594211)-π/2
    2×1.40185594524153-π/2
    2.80371189048306-1.57079632675     		φ = 1.23291556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15529094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.489074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23291556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.640858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20575 KachelY 28641 -2.15529094 1.23291556 -123.489074 70.640858
    Oben rechts KachelX + 1 20576 KachelY 28641 -2.15524301 1.23291556 -123.486328 70.640858
    Unten links KachelX 20575 KachelY + 1 28642 -2.15529094 1.23289967 -123.489074 70.639948
    Unten rechts KachelX + 1 20576 KachelY + 1 28642 -2.15524301 1.23289967 -123.486328 70.639948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23291556-1.23289967) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dl = 101.235190000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23291556-1.23289967) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dr = 101.235190000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15529094--2.15524301) × cos(1.23291556) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331488427774958 × 6371000     		do = 101.223979226932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15529094--2.15524301) × cos(1.23289967) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331503419301145 × 6371000     		du = 101.228557069801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23291556)-sin(1.23289967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331488427774958-0.331503419301145)×R²
    abs(-2.15524301--2.15529094)×1.49915261872247e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49915261872247e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49915261872247e-05×40589641000000     		ar = 10247.6604893866m²